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Conteúdo principal

Prova do teorema do ângulo inscrito

Como demonstrar que um ângulo inscrito é metade de um ângulo central que subtende o mesmo arco.

Primeiros passos

Antes de começarmos a falar sobre a demonstração, vamos garantir que entendemos alguns termos sofisticados relacionados às circunferências.
Confira uma rápida atividade de combinar para ver se você consegue descobrir os termos sozinho:
Usando a imagem, faça a combinação das variáveis com os termos.
Uma circunferência contendo três pontos. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do segundo ponto. Um arco formado pelo primeiro e pelo segundo pontos está identificado como alfa. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
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Bom trabalho! Vamos usar esses termos em todo o resto do artigo.

O que vamos demonstrar

Uma circunferência contendo três pontos. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do segundo ponto. O arco formado pelo primeiro e pelo segundo pontos está identificado como alfa. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto mede cinquenta graus. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto mede vinte e cinco graus.
Estamos prestes a demonstrar que algo muito legal acontece quando um ângulo inscrito (ψ) e um ângulo central (θ) interceptam o mesmo arco: a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
θ=2ψ

Visão geral da demonstração

Para demonstrar que θ=2ψ para todos os θ e ψ (como definidos acima), devemos considerar três casos separados:
Caso ACaso BCaso C
O caso A tem três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus no sentido horário do primeiro ponto. O terceiro ponto está a cento e oitenta graus no sentido horário do primeiro ponto. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto, que passa pelo centro, e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro pontono sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso C, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.

Caso A: o diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, ψ.

O caso A tem três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus no sentido horário do primeiro ponto. O terceiro ponto está a cento e oitenta graus no sentido horário do primeiro ponto. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto, que passa pelo centro, e pelo segundo ponto está identificado como psi.

Etapa 1: encontrar o triângulo isósceles.

Três pontos A, C e D estão na circunferência centrados em torno do ponto B. O ponto D está a menos de noventa graus do ponto A, no sentido horário. O ponto C está a cento e oitenta graus do ponto A no sentido horário. O segmento de reta A C é um diâmetro. O segmento de reta D C é uma corda. Os segmentos de reta B A, B C e B D são raios com r unidades de comprimento. O ângulo formado pelos pontos A, B e D está identificado como teta. O ângulo formado pelos pontos B C D está identificado como psi. Um ângulo formado pelos pontos B, D e C está identificado como psi.
Os segmentos BC e BD são ambos raios, então eles têm o mesmo comprimento. Isso significa que o CBD é isósceles, o que também significa que os ângulos de sua base são congruentes:
mC=mD=ψ

Etapa 2: encontrar o ângulo raso.

Três pontos A, C e D estão na circunferência centrados em torno do ponto B. O ponto D está a menos de noventa graus do ponto A no sentido horário. O ponto C está a cento e oitenta graus do ponto A no sentido horário. O segmento de reta A C é um diâmetro. O segmento de reta D C é uma corda. Os segmentos de reta B A, B C e B D são raios com r unidades de comprimento. O ângulo formado pelos pontos A, B e D está identificado como teta. O ângulo formado pelos pontos B C D está identificado como psi. O ângulo formado pelos pontos B, D e C está identificado como psi. O ângulo C B D está identificado como cento e oitenta graus menos teta.
O ângulo ABC é um ângulo raso, então
θ+mDBC=180mDBC=180θ

Etapa 3: escrever uma equação e calcular ψ.

Os ângulos internos do CBD são ψ, ψ e (180θ), e sabemos que os ângulos internos de qualquer triângulo somam 180.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
Legal. Finalizamos nossa demonstração do Caso A. Só faltam mais dois casos!

Caso B: o diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, ψ.

No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro pontono sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.

Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro

Usando o diâmetro, vamos dividir ψ em ψ1 e ψ2 e θ em θ1 e θ2, assim:
No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi. Um ponto também está na circunferência para fazer com que um segmento de reta que passa pelo centro e vai até o terceiro ponto seja um diâmetro. O ângulo theta um está à esquerda e o theta dois está à direita do diâmetro no qual teta estava localizado. O ângulo psi um está à esquerda e o ângulo psi dois está à direita do diâmetro localizado onde estava psi.

Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.

Em nosso novo diagrama, o diâmetro divide a circunferência em duas metades. Cada metade tem um ângulo inscrito com um raio sobre o diâmetro. Essa é a mesma situação que no Caso A, então sabemos que
(1)θ1=2ψ1
e
(2)θ2=2ψ2
porque aprendemos isso no Caso A.

Etapa 3: somar as equações.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Some (1) e (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Agrupe as variáveisθ=2ψθ=θ1+θ2 e ψ=ψ1+ψ2
O Caso B está finalizado. Falta só um!

Caso C: o diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito.

No caso C, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.

Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro

Usando o diâmetro, vamos criar dois novos ângulos: θ2 e ψ2, assim:
Há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi. Um ponto está na circunferência com um segmento de reta conectando-o, através do centro, ao terceiro ponto e formando um diâmetro. O ângulo formado pelo novo ponto, pelo centro e pelo primeiro ponto está identificado como theta dois. O ângulo formado pelo ponto do centro, pelo terceiro ponto e pelo primeiro ponto está identificado como psi dois.

Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.

De modo similar ao que fizemos no Caso B, criamos um diagrama que nos permite usar o que aprendemos no Caso A. Com base nesse diagrama, sabemos o seguinte:
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

Etapa 3: substituir e simplificar.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
Pronto! Demonstramos que θ=2ψ em todos os três casos.

Um resumo do que fizemos

Propusemo-nos a demonstrar que a medida de um ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito quando os dois ângulos interceptam o mesmo arco.
Começamos a demonstração estabelecendo três casos. Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.
Caso ACaso BCaso C
O caso A tem três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus no sentido horário do primeiro ponto. O terceiro ponto está a cento e oitenta graus no sentido horário do primeiro ponto. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto, que passa pelo centro, e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro pontono sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso C, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi.
No caso A, identificamos um triângulo isósceles e um ângulo raso. A partir disso, elaboramos algumas equações usando ψ e θ. Com um pouco de álgebra, demonstramos que θ=2ψ.
Nos casos B e C, inteligentemente introduzimos o diâmetro:
Caso BCaso C
No caso B, há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a mais de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a mais de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi. Um ponto também está na circunferência para fazer com que um segmento de reta que passa pelo centro e vai até o terceiro ponto seja um diâmetro. O ângulo theta um está à esquerda e o theta dois está à direita do diâmetro no qual teta estava localizado. O ângulo psi um está à esquerda e o ângulo psi dois está à direita do diâmetro localizado onde estava psi.
Há três pontos na circunferência. O segundo ponto está a menos de noventa graus do primeiro ponto no sentido horário. O terceiro ponto está a menos de cento e oitenta graus do primeiro ponto no sentido horário. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo centro e pelo segundo ponto está identificado como teta. O ângulo formado pelo primeiro ponto, pelo terceiro ponto e pelo segundo ponto está identificado como psi. Um ponto está na circunferência com um segmento de reta conectando-o, através do centro, ao terceiro ponto e formando um diâmetro. O ângulo formado pelo novo ponto, pelo centro e pelo primeiro ponto está identificado como theta dois. O ângulo formado pelo ponto do centro, pelo terceiro ponto e pelo primeiro ponto está identificado como psi dois.
Isso tornou possível usar nosso resultado do Caso A, e foi o que fizemos. Nos casos B e C, escrevemos equações relacionadas às variáveis nas figuras, o que só foi possível graças ao que aprendemos no Caso A. Depois de estabelecermos nossas equações, usamos álgebra para mostrar que θ=2ψ.

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