Conteúdo principal
Prova do teorema do ângulo inscrito
Como demonstrar que um ângulo inscrito é metade de um ângulo central que subtende o mesmo arco.
Primeiros passos
Antes de começarmos a falar sobre a demonstração, vamos garantir que entendemos alguns termos sofisticados relacionados às circunferências.
Confira uma rápida atividade de combinar para ver se você consegue descobrir os termos sozinho:
Bom trabalho! Vamos usar esses termos em todo o resto do artigo.
O que vamos demonstrar
Estamos prestes a demonstrar que algo muito legal acontece quando um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco: a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
Visão geral da demonstração
Para demonstrar que para todos os e (como definidos acima), devemos considerar três casos separados:
Caso A | Caso B | Caso C |
---|---|---|
Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.
Caso A: o diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, .
Etapa 1: encontrar o triângulo isósceles.
Os segmentos e são ambos raios, então eles têm o mesmo comprimento. Isso significa que o é isósceles, o que também significa que os ângulos de sua base são congruentes:
Etapa 2: encontrar o ângulo raso.
O ângulo é um ângulo raso, então
Etapa 3: escrever uma equação e calcular .
Os ângulos internos do são , e , e sabemos que os ângulos internos de qualquer triângulo somam .
Legal. Finalizamos nossa demonstração do Caso A. Só faltam mais dois casos!
Caso B: o diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, .
Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro
Usando o diâmetro, vamos dividir em e e em e , assim:
Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.
Em nosso novo diagrama, o diâmetro divide a circunferência em duas metades. Cada metade tem um ângulo inscrito com um raio sobre o diâmetro. Essa é a mesma situação que no Caso A, então sabemos que
e
porque aprendemos isso no Caso A.
Etapa 3: somar as equações.
O Caso B está finalizado. Falta só um!
Caso C: o diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito.
Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro
Usando o diâmetro, vamos criar dois novos ângulos: e , assim:
Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.
De modo similar ao que fizemos no Caso B, criamos um diagrama que nos permite usar o que aprendemos no Caso A. Com base nesse diagrama, sabemos o seguinte:
Etapa 3: substituir e simplificar.
Pronto! Demonstramos que em todos os três casos.
Um resumo do que fizemos
Propusemo-nos a demonstrar que a medida de um ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito quando os dois ângulos interceptam o mesmo arco.
Começamos a demonstração estabelecendo três casos. Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.
Caso A | Caso B | Caso C |
---|---|---|
No caso A, identificamos um triângulo isósceles e um ângulo raso. A partir disso, elaboramos algumas equações usando e . Com um pouco de álgebra, demonstramos que .
Nos casos B e C, inteligentemente introduzimos o diâmetro:
Caso B | Caso C |
---|---|
Isso tornou possível usar nosso resultado do Caso A, e foi o que fizemos. Nos casos B e C, escrevemos equações relacionadas às variáveis nas figuras, o que só foi possível graças ao que aprendemos no Caso A. Depois de estabelecermos nossas equações, usamos álgebra para mostrar que .
Quer participar da conversa?
- onde uso isso na minha vida, só na escola?(10 votos)
- me pergunto isso todo dia(3 votos)
- eu ja liguei o meu carro regulei o som!(5 votos)
- tcheretcheretchre tchre tchre(1 voto)
- meu deus o que é isso(3 votos)
- kamilinha mais linda do jalem papai vando muito lindo careca raspada cheirosa tia vadinha cozinha mt bem a galinha dela e gostosa fellipe meu amor(3 votos)
- Quem é Super Xandão? Super Xandão é o ultimo herói da terra, fruto da vontade divina e que irá salvar a todos no apocalipse.(3 votos)
- bicho vermei com foia na cabeça(2 votos)
- Como fazer um bolo de cenoura?(2 votos)
- oi quanto que 1111012f41r52152 vezes 5477878(2 votos)
- Gostei!, muito interessante para tirar dúvidas(2 votos)
- quanto q ta a paçoca(2 votos)
- aqui ta 1 real em presidente venceslau na cantina da escola, mas nos mercadinho da cidade ta 25 centavos. observação: a pacoca pequena, nao de rolha. Governo ruim né nao?kkkk(1 voto)