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Transcrição de vídeo

o que eu quero fazer nesse vídeo é provar um dos resultados mais úteis na geometria que é sobre alguns ângulos inscritos numa circunferência ângulo escrito uma circunferência é apenas um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência do círculo esse é nosso ângulo inscrito vou denotarem sai vou utilizar a letra grega psa é bonito para o ângulo inscrito e ângulos nesse vídeo e se sai o ângulo inscrito será exatamente metade do ângulo central que enxerga o mesmo arco utilizei um monte de palavras difíceis mas eu acho que você entendeu que eu disse né então isso é o que sai de um ângulo inscrito o seu vértice está na circunferência se desenhar mas os dois raios a partir da origem desse ângulo ou as duas cordas que enxergam este ângulo ela se intersectam sobre um ponto do círculo se olharmos para a circunferência ela conterá o arco que é enxergado pelo pai há muitas palavras difíceis mas eu acho que a ideia é bem direta e se a direita é o arco visto visto pelo psai onde o psai é o ângulo inscrito ali converte se na circunferência e se a direita é o arco visto pelo que sai agora o ângulo central é um ângulo cujo vértice está no centro do círculo o vértice está no centro do círculo então digamos que esse aqui eu vou tentar examinar o centro do círculo deixou desenhar um ângulo central que enxergue esse mesmo arco e isso é um ângulo central que enxerga esse mesmo arco bem assim vamos chamar de seta ângulo teta esse ângulo psai esse bem quieta e eu vou provar neste vídeo é que o psai sempre será igual a um meio de teta por exemplo suponha que possais seja igual sei lá a 25° então saberemos imediatamente que tenta deve ser igual a 50 graus ou se eu disser que tenta era 80 graus a gente saber imediatamente que sai deveria ser o 40° vamos agora provar isso deixou esclarecer um bom lugar para começar ou lugar que vou começar é um caso especial vou desenhar um ângulo inscrito e uma das cordas que define será o diâmetro do círculo então não será o caso geral será um caso especial deixa eu ver esse aqui é o centro do meu círculo estou tentando resgatar minar o centro é mais ou menos assim deixa desenhar um diâmetro o diâmetro ou se parece com isso deixa definir meu ângulo inscrito o diâmetro um lado dele e outro lado talvez se pareça com isso vamos chamar esse aqui de sair se esse é o psai esse comprimento aqui é um raio esse é o raio do nosso círculo esse comprimento bem aqui também será o raio do nosso círculo ele vai do centro até a circunferência nossa circunferência deferida por todos os pontos que estão exatamente um raio de distância do centro vamos também chamar de raio agora esse triângulo aqui é um triângulo isósceles ele tem dois lados que são iguais dois lados que são definitivamente iguais sabemos que quando temos dois lados iguais seus ângulos de base também são iguais isso também será igual à sae pode ser não reconhecer porque está inclinado assim mas acho que muitos de nós quando vemos um triângulo assim se eu disse que isto é r e qr esses dois lados são iguais e se isso é que sai então também sabemos que esse ângulo também será psai os ângulos da base são equivalentes a um triângulo isósceles esse é o que sai esse também é o que sai agora o central esse é o ângulo central que enxerga o mesmo arco vamos destacar o arco que os dois enxergam esse à direita é o arco que os dois vão enxergar esse é o meu ângulo central tenta agora se esse ângulo 80 qual o valor desse ângulo esse ângulo bem aqui esse ângulo é suplementar ao tetra ele mede 180 - teta quando acrescentarmos esses dois ângulos teremos 180 graus eles são suplementares uns aos outros agora sabemos que esses três ângulos estão dentro do mesmo triângulo então eles precisam somar 180graus chegamos ao sae e sai mais aquele que sai mais sai mas esse ângulo que é 180graus - teta mais 180 - teta esses três ângulos precisam somar 180graus e esses são os três ângulos de um triângulo agora podemos subtrair 180 dos dois lados sai mais sai é 23 ae - teta igual a zero adicione tenta aos dois lados teremos dois sai igual ao atleta multiplique os dois lados por um meio ou devido aos dois lados por dois teremos pressa igual a um meio detenta acabamos de provar o que queríamos para o caso especial onde nosso ângulo inscrito é um dos raios se quiser ver essas retas como raios onde um dos raios que definisse amo inscrito está sobre o diâmetro esse raio está sobre o diâmetro então esse é um caso especial onde uma extremidade um raio está sobre o diâmetro já podemos generalizar agora que sabemos que se isso a 50 que isso será 100 graus e assim por diante certo o valor de psy é e será sempre um meio do teto o valor de teta será 2 vezes sai agora isso se aplica em qualquer momento poderemos utilizar essa noção a qualquer momento a gente pode generalizar um pouco embora isso não se aplique a todos os ângulos inscritos vamos pegar um ângulo inscrito que seja assim nessa situação o centro está no interior do ângulo este é o meu ângulo inscrito e eu quero achar uma relação entre esse ângulo inscrito e o ângulo central que enxergam o mesmo arco esse é o meu ângulo central que enxerga o mesmo arco bom podemos dizer em uma das extremidades dessas cordas que definem esse ângulo nenhuma corda é um diâmetro mas o que podemos fazer é desenhar um diâmetro se o centro está no meio dessas duas cordas aqui a gente pode traçar um diâmetro podemos traçar um diâmetro se traçarmos um diâmetro assim podemos definir esse ângulo como que saiu um esse ângulo como sai 2 sai claramente a soma desses dois ângulos e podemos chamar esse ângulo detecta um e esse ângulo de teta dois imediatamente saberemos que utilizando apenas o resultado desde que tenhamos um lado do nosso ângulo nos dois casos como um diâmetro agora a gente sabe que se sair um será igual a um meio de teto a 1 a gente sabe que sai 2 será um meio de teta 2 sai 2 será um meio de teta dois então sai que hebe saiu mais sai 2 saiu um país que sai 2 será igual a esses dois aqui um meio de teto a 1 mas um meio de teta 2 saiu mas precisei dois é igual ao primeiro ângulo inscrito com quem queremos trabalhar esse é o psai esse aqui este é igual a um meio vezes afeta 1 mais teto a 2 o que é tão mais 32 bom esse é o nosso teto original com quem estamos trabalhando agora veremos que psai é igual a um meio de teta provamos por meio de um caso um pouco mais geral onde o nosso centro está dentro dos dois raios que definem esse ângulo ainda não abordamos uma situação um pouco mais difícil uma situação um pouco mais geral onde temos o centro do nosso círculo e o ângulo inscrito como localizado fora da região delimitada pelas duas cordas deixa desenhar isso então isso será o meu vértice eu vou mudar as cores digamos que isso é uma das cordas que define um ângulo bem assim vejamos que essa outra corda que define o ângulo assim como encontramos a relação entre vamos chamar esse ângulo aqui vamos chamar de sai 11 como encontramos a relação entre sai on e do ângulo central quem enxerga esse mesmo arco quando falamos sobre o mesmo arco o ângulo central que enxerga o mesmo arco será assim vamos chamar esse de seta um beta 1 o que podemos fazer é utilizar o que aprendemos quando um lado do nosso ângulo inscrito é um diâmetro então vamos montar deixa desenhar um diâmetro aqui no resultado que queremos ainda é esse que deve ser um meio de se mas vamos provar vamos desenhar um diâmetro assim vamos chamar esse ângulo aqui vamos chamar de sai 2 sai 2 está enxergando esse arco aqui deixa fazer com uma cor mais escura está enxergando esse arco bem aqui então o ângulo central enxerga o mesmo arco vamos chamar esse de beta 2 agora sabemos por causa da parte anterior desse vídeo que psai 2 será igual a um meio de peta 2 certo eles dividem o diâmetro ali o diâmetro é uma das cordas que formam um ângulo então sai 2 será igual a um meio de teta 21 meio de 32 isso é exatamente o que fizemos no último vídeo não é esse é um ângulo inscrito uma das cordas que o define é o diâmetro por isso e isso será um meio desse ângulo do ângulo central que enxerga o mesmo arco vamos ver esse ângulo maior esse ângulo maior bem aqui sá e um mais sai 2 esse ângulo maior é igual a saiu mais sai 2 mais uma vez isso enxerga esse arco inteiro aqui e tem um diâmetro igual ao das cordas que definem esse ângulo enorme por isso e isso será um meio do ângulo central que enxerga o mesmo arco estamos apenas utilizando o que já foi mostrado neste vídeo isso será igual a um meio desse ângulo central enorme detecta um mais teto a 2 até agora utilizamos apenas tudo o que aprendemos mais cedo neste vídeo agora já sabemos que o psai dois é igual a um meio de tanta 2 então deixa eu fazer essa substituição e isso é igual a esse a gente pode dizer que saiu mais em vez de sair dois vou escrever um meio de teta 2 igual a meio desta 1 mas um meio tenta 2 vamos subtrair um meio de 32 dos dois lados e chegaremos ao nosso resultado saiu um é igual a um meio de teta 1 e acabamos provamos a situação em que o ângulo inscrito é sempre um meio do ângulo central que enxerga esse mesmo arco independentemente se o centro do círculo está dentro do ângulo fora do ângulo se a gente tem um diâmetro como sendo um dos lados do ângulo qualquer outro ângulo pode ser construído como a soma de qualquer um desses que já fizemos espero que tenha achado isso útil e agora realmente podemos utilizar esse resultado pra fazer algo mais interessante com as provas da geometria