Prova do teorema do ângulo inscrito

RKA - O que eu quero fazer nesse vídeo é provar um dos resultados mais úteis da geometria, que é sobre alguns ângulos inscritos numa circunferência. Um ângulo escrito numa circunferência é apenas um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência do círculo. Esse é nosso ângulo inscrito, vou denotar em Ψ (psi). Vou utilizar a letra grega Ψ (bonito!) para o ângulo inscrito e ângulos nesse vídeo. Esse Ψ, o ângulo inscrito, será exatamente metade do ângulo central que enxerga o mesmo arco. Eu utilizei um monte de palavras difíceis, mas eu acho que você entendeu o que eu disse, né? Então, isso é o Ψ, é um ângulo inscrito. Seu vértice está na circunferência. Se desenharmos os dois raios a partir da origem desse ângulo ou as duas cordas que enxergam este ângulo, elas se intersectam sobre um ponto do círculo. Se olharmos para a circunferência, ela conterá o arco que é enxergado pelo Ψ. Há muitas palavras difíceis, mas eu acho que a ideia é bem direta. Esse à direita é o arco visto (visto pelo Ψ), onde o Ψ é o ângulo inscrito ali, com o vértice na circunferência. Esse à direita é o arco visto pelo Ψ. Agora, o ângulo central é um ângulo cujo vértice está no centro do círculo (o vértice está no centro do círculo). Então, digamos que esse aqui... (eu vou tentar examinar)... o centro do círculo... (deixa eu desenhar um ângulo central que enxergue esse mesmo arco)... isso é um ângulo central que enxerga esse mesmo arco, bem assim. Vamos chamar de ϴ (teta)... ângulo ϴ. Esse ângulo é Ψ, esse bem aqui é ϴ. E o que eu vou provar neste vídeo é que o Ψ sempre será igual a 1/2 de ϴ. Por exemplo, suponha que Ψ seja igual... sei lá... a 25 graus. Então, saberíamos, imediatamente, que ϴ deve ser igual a 50 graus; ou, se eu disser que ϴ era 80 graus, a gente saberia, imediatamente, que Ψ deveria ser 40 graus. Vamos, agora, provar isso. Deixa eu esclarecer. Um bom lugar para começar, ou o lugar em que vou começar, é um caso especial. Vou desenhar um ângulo inscrito e uma das cordas que o define será o diâmetro do círculo. Então, não será o caso geral, será um caso especial. Deixa eu ver... esse aqui é o centro do meu círculo... estou tentando examinar... o centro é mais ou menos assim. Deixa eu desenhar um diâmetro, o diâmetro se parece com isso. Deixa eu definir meu ângulo inscrito (o diâmetro é um lado dele) e o outro lado talvez se pareça com isso. Vamos chamar esse aqui de Ψ. Se esse é o Ψ, esse comprimento aqui é um raio. Esse é o raio do nosso círculo; esse comprimento bem aqui também será o raio do nosso círculo. Ele vai do centro até a circunferência. Nossa circunferência é definida por todos os pontos que estão exatamente a um raio de distância do centro. Vamos também chamar de raio ("r"). Agora, esse triângulo aqui é um triângulo isósceles. Ele tem dois lados que são iguais, dois lados que são definitivamente iguais. Sabemos que quando temos dois lados iguais seus ângulos de base também são iguais. Isso também será igual a Ψ. Pode-se não reconhecer porque está inclinado assim, mas acho que muitos de nós, quando vemos um triângulo assim... se eu disse que isto é "r" e aqui é "r", esses dois lados são iguais... e se isso é Ψ, então também sabemos que esse ângulo também será Ψ. Os ângulos da base são equivalentes a um triângulo isósceles. Esse é o Ψ, esse também é o Ψ. Agora, deixa eu ver o ângulo central. Esse é o ângulo central que enxerga o mesmo arco (vamos destacar o arco que os dois enxergam). Esse à direita é o arco que os dois vão enxergar, esse é o meu ângulo central ϴ. Agora, se esse ângulo é o ϴ, qual o valor desse ângulo? Esse ângulo bem aqui? Esse ângulo é suplementar ao ϴ, ele mede "180 - ϴ". Quando acrescentarmos esses dois ângulos, teremos 180 graus. Eles são suplementares uns aos outros. Agora, sabemos que esses três ângulos estão dentro do mesmo triângulo, então eles precisam somar 180 graus. Chegamos ao Ψ. Esse Ψ... mais aquele Ψ ("+Ψ)... mais esse ângulo, que é 180 graus, menos ϴ ("+180 - ϴ"). Esses três ângulos precisam somar 180 graus. Esses são os três ângulos de um triângulo. Agora podemos subtrair 180 dos dois lados. "Ψ + Ψ" é 2Ψ... menos ϴ igual a zero. Adicione ϴ aos dois lados, teremos "2Ψ = ϴ". Multiplique os dois lados por 1/2 ou divida os dois lados por 2, teremos "Ψ = ½ ϴ". Acabamos de provar o que queríamos para o caso especial onde nosso ângulo inscrito é um dos raios. Se quiser ver essas retas como raios onde um dos raios que define esse ângulo inscrito está sobre o diâmetro (esse raio está sobre o diâmetro), então esse é um caso especial onde uma extremidade (um raio) está sobre o diâmetro. Já podemos generalizar. Agora que sabemos que, se isso é 50, isso será 100 graus e assim por diante, certo? O valor de Ψ é, e será sempre, "½ ϴ"; ou o valor de ϴ será "2 ‧ Ψ". Agora isso se aplica em qualquer momento; poderíamos utilizar essa noção a qualquer momento. A gente pode generalizar um pouco, embora isso não se aplique a todos os ângulos inscritos. Vamos pegar um ângulo inscrito que seja assim. Nessa situação, o centro está no interior do ângulo. Este é o meu ângulo inscrito e eu quero achar uma relação entre esse ângulo inscrito e o ângulo central que enxergam o mesmo arco. Esse é o meu ângulo central que enxerga o mesmo arco. Bom, podemos dizer... nenhuma das extremidades dessas cordas que definem esse ângulo, nenhuma corda é um diâmetro; mas o que podemos fazer é desenhar um diâmetro. Se o centro está no meio dessas duas cordas aqui, a gente pode traçar um diâmetro (podemos traçar um diâmetro). Se traçarmos um diâmetro assim podemos definir esse ângulo como Ψ₁, esse ângulo como Ψ₂ (Ψ claramente é a soma desses dois ângulos), e podemos chamar esse ângulo de ϴ₁ e esse ângulo de ϴ₂. Imediatamente saberemos que utilizando apenas o resultado, desde que tenhamos um lado do nosso ângulo, nos dois casos, como um diâmetro agora, a gente sabe que Ψ₁ será igual a 1/2 de ϴ₁. A gente sabe que Ψ₂ será 1/2 de ϴ₂. Então, Ψ (que é "Ψ₁ + Ψ₂") será igual a esses dois aqui, "½ ϴ₁ + ½ ϴ₂". "Ψ₁ + Ψ₂" é igual ao primeiro ângulo inscrito, com quem queremos trabalhar, esse é o Ψ. E esse aqui, esse é igual a "½ ‧ (ϴ₁ + ϴ₂)" O que é "ϴ₁ + ϴ₂"? Bom, esse é o nosso ϴ original com quem estamos trabalhando. Agora, veremos que "Ψ = ½ ϴ". Provamos por meio de um caso um pouco mais geral onde o nosso centro está dentro dos dois raios que definem esse ângulo. Ainda não abordamos uma situação um pouco mais difícil ou uma situação um pouco mais geral onde temos o centro do nosso círculo e o ângulo inscrito como localizado fora da região delimitada pelas duas cordas. Deixa eu desenhar isso. Então, isso será o meu vértice (eu vou mudar as cores)... digamos que isso é uma das cordas que definem o ângulo (bem assim). Vejamos aqui essa outra corda que define o ângulo, assim. Como encontramos a relação entre... (vamos chamar esse ângulo aqui, vamos chamar de Ψ₁)... como encontramos a relação entre Ψ₁ e o ângulo central que enxerga esse mesmo arco? Quando falamos sobre o mesmo arco, o ângulo central que enxerga o mesmo arco será assim. Vamos chamar esse de ϴ₁. O que podemos fazer é utilizar o que aprendemos quando um lado do nosso ângulo inscrito é um diâmetro. Então, vamos montar (deixa eu desenhar um diâmetro aqui). O resultado que queremos ainda é esse que deve ser 1/2 desse, mas vamos provar. Vamos desenhar um diâmetro assim; vamos chamar esse ângulo aqui... vamos chamar de Ψ₂ (está enxergando esse arco aqui... deixa eu fazer com uma cor mais escura)... está enxergando esse arco bem aqui. Então, o ângulo central enxerga o mesmo arco. Vamos chamar esse de ϴ₂. Agora, sabemos por causa da parte anterior desse vídeo que Ψ₂ será igual a 1/2 de ϴ₂, certo? Eles dividem o diâmetro ali (o diâmetro é uma das cordas que formam um ângulo), então Ψ₂ será igual a 1/2 de ϴ₂. Isso é exatamente o que fizemos no último vídeo, não é? Esse é um ângulo inscrito. Uma das cordas que o define é o diâmetro, por isso, isso será 1/2 desse ângulo (do ângulo central) que enxerga o mesmo arco. Vamos ver esse ângulo maior, esse ângulo maior bem aqui: "Ψ₁ + Ψ₂". Esse ângulo maior é igual a "Ψ₁ + Ψ₂". Mais uma vez, isto enxerga esse arco inteiro aqui, e tem um diâmetro igual ao das cordas que definem esse ângulo enorme. Por isso, isso será 1/2 do ângulo central que enxerga o mesmo arco. Estamos apenas utilizando o que já foi mostrado neste vídeo. Isso será igual a 1/2 desse ângulo central enorme (de "ϴ₁ + ϴ₂"). Até agora, utilizamos apenas tudo o que aprendemos mais cedo nesse vídeo. Agora, já sabemos que "Ψ₂ = ½ ϴ₂", então deixa eu fazer essa substituição (isso é igual a esse). A gente pode dizer que Ψ₁ mais... em vez de Ψ₂, vou escrever "½ ϴ₂"... igual a "½ ϴ₁ + ½ ϴ₂". Vamos subtrair "½ ϴ₂" dos dois lados e chegaremos ao nosso resultado. "Ψ₁ = ½ ϴ₁". E acabamos! Provamos a situação em que o ângulo inscrito é sempre 1/2 do ângulo central que enxerga esse mesmo arco, independentemente se o centro do círculo está dentro do ângulo, fora do ângulo; se a gente tem um diâmetro como sendo um dos lados do ângulo. Qualquer outro ângulo pode ser construído como a soma de qualquer um desses que já fizemos. Espero que tenha achado isso útil e agora realmente podemos utilizar esse resultado para fazer algo mais interessante com as provas da geometria!