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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 8
Lição 11: Construindo polígonos regulares inscritos em círculosConstruções geométricas: triângulo equilátero inscrito em uma circunferência
Neste vídeo, construímos um triângulo equilátero inscrito dentro de uma circunferência dada, usando compasso e régua. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA - Construa um triângulo
equilátero inscrito na circunferência. A primeira coisa que eu vou fazer
vai ser construir uma nova circunferência, com as mesmas dimensões
da circunferência original. Depois disso, eu vou pegar o
centro da circunferência nova e pousá-lo sobre a circunferência
original (dessa forma aqui), de maneira, também, que o centro da outra circunferência fique sobre a nossa circunferência nova. E parece bom assim. Agora, vamos pensar numa coisa:
se eu construir aqui esse segmento que liga o centro da circunferência original
ao centro da circunferência nova, é claro que esse segmento tem um comprimento de um raio. E, agora, vamos fazer, novamente, a mesma coisa; e esse novo segmento que eu vou fazer aqui
tem também a dimensão de um raio, pois tem a mesma medida do
segmento que desenhamos primeiro. Um dos pontos desse segmento está
sobre o centro da nossa nova circunferência, e o outro aqui nesse ponto de interseção. Logo, por construção, esses dois segmentos
aqui têm a mesma medida. E, agora, se eu fizer isso novamente
(conectar esse ponto aqui nesse ponto aqui), também terá a dimensão de um raio. Então, essa figura aqui que eu
construí é um triângulo equilátero. Mas por que isso é importante? Bem, nós sabemos que os ângulos internos
de um triângulo equilátero medem 60 graus, portanto, esse ângulo aqui
é um ângulo de 60 graus. Mas por que esse ângulo de
60 graus aqui nos interessa? Bem, imagine que eu construa um outro
triângulo equilátero dessa forma aqui, de maneira simétrica, como se fosse um
reflexo daquele primeiro que nós desenhamos. Bom, pelo mesmo argumento, esse ângulo
aqui também é um ângulo de 60 graus. Logo, esses dois ângulos
juntos medem 120 graus. E por que isso nos interessa? Bom,
se esse ângulo aqui mede 120 graus, esse arco aqui todo
mede 120 graus também. Isso significa que esse arco é
1/3 dessa circunferência original aqui; está dividindo a circunferência original em 3
(é 1/3 de toda a circunferência). E, se isso aqui é 1/3 ao redor da circunferência,
então, se eu conectar esses dois pontos aqui assim, eu vou ter um dos lados
do meu triângulo equilátero. Esse lado aqui, então, ele é secante a esse arco;
que, por sua vez, é igual a 1/3 de toda a circunferência. Bom, e eu posso continuar fazendo isso. Vamos mover aqui o nosso
círculo ao redor da circunferência, de maneira que ele intersecte
aqui esses dois pontos, assim. E, aí, eu já posso pegar esse
pontinho aqui e botar aqui, e esse outro ponto fica ali; e eu tenho
um novo lado do meu triângulo equilátero. Uma vez que, pelo mesmo argumento, esse arco
aqui tem 120 graus. É 1/3 de toda a circunferência. Então, eu tenho aqui mais
um lado do triângulo equilátero, já que esse lado, aqui, ele é
secante a um arco de 120 graus. Agora, vamos mover novamente essa circunferência.
Só que, na verdade, claro, não preciso mais movê-la; eu posso simplesmente conectar
os nossos dois últimos pontos aqui. Conectar dessa maneira aqui. E, é isso! Construímos o
nosso triângulo equilátero. Como sempre, acertamos!