Área de um triângulo equilátero inscrito

RKA2MB - Neste vídeo, eu quero usar alguns resultados dos últimos vídeos para fazer coisas bem interessantes. Digamos que isso é um círculo e tenha um triângulo equilátero inscrito neste círculo. Todos os vértices deste triângulo estão na circunferência do círculo. Então, vou fazer o melhor para desenhar um triângulo equilátero. É, acho que é o melhor que dá para fazer. E, quando digo "equilátero", quero dizer que todos esses lados têm o mesmo comprimento; se o comprimento desse lado é "a", esse comprimento é "a" e o comprimento desse lado também é "a". Digamos que a gente saiba que o raio deste círculo é 2. Estou escolhendo um número só para resolver esse problema; digamos que o raio deste círculo é 2. Do centro até a circunferência, em qualquer ponto, essa distância (o raio) é igual a 2. Agora, eu vou pedir para que use os resultados dos últimos vídeos e um pouco de trigonometria básica. Se a palavra "trigonometria" te assusta, só precisa conhecer os primeiros dois ou três vídeos da lista de vídeos de trigonometria para entender o que eu estou fazendo aqui. Quero determinar a área da região dentro do círculo e fora do triângulo. Quero determinar a área desse espaço, desse espaço e desse espaço, juntos. A maneira mais óbvia de fazer é dizer: bom, posso determinar a área do círculo facilmente! A área do círculo será igual a "πr²"; ou "π‧(2²)", que é igual a 4π. E poderia subtrair a área do triângulo de 4π. Então, precisamos determinar a área do triângulo. Qual é a área do triângulo? Em vídeos anteriores, demonstrei o teorema de Herão, em que, se conhece os comprimentos dos lados de um triângulo, pode determinar a área. Mas ainda não sabemos os comprimentos dos lados. Uma vez que a gente saiba, talvez possamos determinar a área. Vou aplicar Herão para saber e considerar que os comprimentos desse triângulo equilátero, os comprimentos dos lados são iguais a "a". Aplicando o teorema de Herão, primeiro definimos a variável "S" como sendo igual a "(a + a + a)/2", que é a mesma coisa que "3a/2", e a área desse triângulo em termos de "a". Esta área será igual à raiz quadrada de "S", que é "(3a/2)", vezes "(S - a)", então é "(3a/2)" menos "a", ou poderia simplesmente escrever 2a/2, certo? "a" é a mesma coisa que "2a/2". Dá para cancelar isso e você tem "a". E, agora, vou fazer isso três vezes. Em vez de simplesmente multiplicar três vezes para cada um dos lados, de acordo com o teorema de Herão, eu poderia só dizer à terceira potência. Será igual a...? Vai ser igual à raiz quadrada de 3a/2... e isso aqui será igual a... "3a - 2a", que é "a"... "(a/2)³". E isso será igual a... (vou só trocar as cores)... a gente tem que "(3a)‧a³, que é "3a⁴", sobre "2‧(2³), que é 2⁴; ou 16, certo? "2‧(2³)" é 2⁴, que dá 16. E, se pegar a raiz quadrada do numerador e do denominador, será igual à raiz quadrada de "a⁴", que é "a²", vezes... vamos escrever a raiz quadrada de 3 sobre a raiz quadrada do denominador, que é 4. Aí, a gente sabe "a" usando o teorema de Herão; sabemos qual é a área desse triângulo equilátero. Como podemos determinar "a"? O que mais sabemos sobre triângulos equiláteros? Sabemos que todos esses ângulos são iguais. E, como eles têm que somar 180º, devem ser de 60º. Isso tem 60º, isso tem 60º, e isso tem 60º. Agora, vamos ver se dá para usar o último vídeo, onde falei sobre a relação entre um ângulo inscrito e um ângulo central. Aqui, tenho um ângulo inscrito, seu vértice está na circunferência, e ele está subtendendo este arco. E o ângulo central que está subtendendo esse mesmo arco é este. O ângulo central que está subtendendo esse mesmo arco é aquele. Com base no que vimos no último vídeo, o ângulo central que subtende o mesmo arco será o dobro do ângulo inscrito; este ângulo terá 120º. Vou colocar uma flecha. 120º (é o dobro disso). Agora, se eu fosse bifurcar este ângulo, vou até a metade do ângulo, e só quero ir para baixo assim. Quanto serão estes dois ângulos? Serão 60º. Estou bifurcando esse ângulo: isso é 60º, e aqui é 60º. Sei que estou dividindo este lado em dois e isso é um triângulo isósceles. Este é um raio; raio "r" é igual a 2. Isto é um raio, onde "r" é igual a 2. Esse triângulo é simétrico; se eu descer pelo meio este comprimento, será esse lado dividido por 2. Aquele lado vai ser esse lado dividido por 2. Vou desenhar aqui. Se eu pegar um triângulo isósceles, qualquer triângulo isósceles, onde este lado é equivalente a esse lado, esses são os raios, nesse exemplo; e este ângulo será igual àquele ângulo. Se eu descer por este ângulo, dividiria esse lado oposto em dois. Esses dois comprimentos serão iguais. Nesse caso, se tudo é "a", cada um desses será "a/2". Agora, vamos ver se podemos usar isso e um pouco de trigonometria para encontrar a relação entre "a" e "r", porque, se conseguirmos solucionar "a" usando "r", dá para colocar aquele valor de "a" aqui e teremos a área do nosso triângulo; e, então, poderíamos subtrair da área do círculo, e pronto, teremos resolvido o problema. Vamos lá! Aqui, tem um ângulo de 60º (a metade de todo aquele ângulo central ali). Se esse ângulo tem 60º, tem "a/2", que está do lado oposto desse ângulo; tenho oposto é igual a "a/2". E também temos a hipotenusa, certo? Isso aqui é um ângulo reto, e está descendo reto, está bifurcando aquele lado oposto; isto é um ângulo reto. Então, podemos usar um pouco de trigonometria. Nosso lado oposto é "a/2"; a hipotenusa é igual a "r". Esta é a hipotenusa do nosso ângulo reto; então, isso é igual a 2. Qual relação de trigonometria é a proporção do lado oposto de um ângulo à hipotenusa? Vocês podem estar cansados de me ver fazer isso toda hora, mas: sen-cos-tg. "Sen" é um ângulo igual ao oposto sobre a hipotenusa... (vou descer um pouco porque eu estou ficando sem espaço). Então, o seno deste ângulo de 60º será igual ao lado oposto (igual a "a/2") sobre a hipotenusa, que é nosso raio (sobre 2), que é igual a... "a/2" dividido por 2 é "a/4". Qual é o seno de 60º? Se não conhece a palavra "seno", assista aos primeiros vídeos da lista de vídeos de trigonometria. Não deve ser muito difícil. Seno de 60º... deve lembrar dos triângulos 30-60-90, então vou desenhar um aqui... isso é um triângulo 30-60-90... se tem 60º, isso tem 30º, e isso tem 90º. Talvez se lembre de que isto tem comprimento 1, e terá comprimento 1/2; e isto terá comprimento de raiz quadrada de 3 sobre 2. Então, o seno de 60º é o oposto sobre a hipotenusa. A raiz quadrada de 3 sobre 2 sobre 1(seno de 60º). Se não tem uma calculadora, eu poderia usar isto; e é a raiz quadrada de 3 sobre 2. Então, aqui, é raiz quadrada de 3 sobre 2. Agora, podemos solucionar "a". Raiz quadrada de 3 sobre 2 é igual a "a/4". Vamos multiplicar os dois lados por 4... você tem que esse 4 se cancela... multiplica 4 aqui... isso vira 2, isso vira 1... você tem "a" é igual a "2 raiz quadrada de 3"... e já estamos quase lá. Acabamos de determinar o comprimento de cada um desses lados. Usamos o teorema de Herão para determinar a área do triângulo em termos desses comprimentos; daí, substituímos esse valor de "a" para obter nossa área. Então, nossa área do triângulo é igual a "a²". Quanto é "a²"? Isso é "2 raiz quadrada de 3" ao quadrado vezes a raiz quadrada de 3 sobre 4. Acabamos de fazer "a²" vezes a raiz quadrada de 3 sobre 4, que será igual a "4 vezes 3 vezes a raiz quadrada de 3" sobre 4... esses 4 se cancelam... e a área do nosso triângulo é 3 vezes a raiz quadrada de 3. A área é "3 raiz quadrada de 3"; essa é a área de todo esse triângulo. Voltando à nossa questão: a área desta área laranja fora do triângulo e dentro do círculo... bom, a área do nosso círculo é 4π, e disso subtraímos a área do triângulo, "3 raiz quadrada de 3". E terminamos! Esta é nossa resposta. Esta é a área desta região laranja. Eu espero que você tenha se divertido. Até o próximo vídeo!