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Geometria intermediária

Curso: Geometria intermediária > Unidade 8

Lição 4: Introdução a radianos

Arcos, razões e radianos

Podemos usar a constante de proporcionalidade entre o comprimento do arco e o raio de um setor como uma forma de descrever a medida de um ângulo, porque todos os setores com a mesma medida de ângulo são semelhantes.

Setores e círculos dilatados

Todos os círculos são semelhantes, porque podemos transformar qualquer círculo em outro usando apenas transformações rígidas e dilatações. Os círculos não são todos congruentes, pois eles podem ter comprimentos de raio diferentes.

Um setor é uma parte do interior de um círculo entre dois raios. Dois setores devem ter ângulos centrais congruentes para que sejam semelhantes.

Um arco é uma parte da circunferência de um círculo entre dois raios. Da mesma forma, dois arcos devem ter ângulos centrais congruentes para que sejam semelhantes.

O círculo B e o setor dele são dilatações do círculo A e do setor dele com um fator de escala de

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Quais propriedades do círculo B são as mesmas do círculo A?

Propriedade	Mesma ou diferente
Área do setor
Medida do ângulo central do setor
Comprimento do raio
Comprimento do arco definido pelo setor
Razão entre a circunferência do círculo e o raio
Razão entre o comprimento do arco e o raio

Raciocínio sobre razões

Quando estudamos triângulos retângulos, aprendemos que para uma determinada medida de ângulo agudo, a razão

\frac{cateto oposto}{hipotenusa}

era sempre a mesma, não importa o quão grande o triângulo retângulo fosse. Chamamos essa razão de seno do ângulo.

Algo muito semelhante acontece quando analisamos a razão entre

\frac{comprimento do arco}{comprimento do raio}

em um setor com um dado ângulo. Para cada afirmação abaixo, tente explicar para si mesmo o motivo, a razão da afirmação, antes de ver a explicação.

Os setores nestes dois círculos têm a mesma medida de ângulo central.

Afirmações

O círculo 2 é uma dilatação do círculo 1.
[Como sabemos?]
Se o fator de escala do círculo 1 ao círculo 2 é $k$ ‍, então $r_{2} = k r_{1}$ ‍.
[Como sabemos?]
O comprimento de arco no círculo 1 é $ℓ_{1} = \frac{θ}{360 °} \cdot 2 π r_{1}$ ‍.
[Como sabemos?]
Pelo mesmo raciocínio, o comprimento do arco no círculo 2 é $ℓ_{2} = \frac{θ}{360 °} \cdot 2 π r_{2}$ ‍.
Por substituição, podemos escrever isso como $ℓ_{2} = \frac{θ}{360 °} \cdot 2 π k r_{1}$ ‍.
Portanto, $ℓ_{2} = k ℓ_{1}$ ‍.
[Como sabemos?]

[O que essa equação significa em palavras?]
Portanto, $\frac{ℓ_{1}}{r_{1}} = \frac{ℓ_{2}}{r_{2}}$ ‍.
[Como sabemos?]

Conclusão

A razão entre o comprimento do arco e o comprimento do raio é a mesma em quaisquer dois setores com um dado ângulo, não importa o quão grande os círculos sejam!

Uma nova razão e uma nova forma de medir ângulos

Para qualquer ângulo, podemos imaginar um círculo que tenha o vértice dele como centro. A medida do ângulo em radianos é igual à razão entre

\frac{comprimento do arco}{raio}

. O ângulo tem a mesma medida em radianos, não importa o quão grande o círculo seja.

Complete a tabela com a medida em graus e o valor da razão $\frac{comprimento do arco}{raio}$ ‍ para cada fração de um círculo.

Fração	Medida do ângulo central (graus)	Medida do ângulo central (radianos) $θ = \frac{comprimento do arco}{raio}$ ‍
$\frac{1}{2}$ ‍	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $°$ ‍	$θ =$ ‍
$\frac{1}{3}$ ‍	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $°$ ‍	$θ =$ ‍
$\frac{1}{4}$ ‍	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $°$ ‍	$θ =$ ‍

Mais formas de descrever radianos

Um radiano é a medida do ângulo que giramos para percorrer o comprimento de um raio ao redor da circunferência de um círculo.

Portanto, radianos são a constante de proporcionalidade entre o comprimento de um arco e o comprimento do raio.

\begin{aligned} θ & = \frac{comprimento do arco}{raio} \\ θ \cdot raio & = comprimento do arco \end{aligned}

São necessários

2 π

radianos (um pouco mais que

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radianos) para dar uma volta completa ao redor do centro de um círculo. Isso faz sentido, já que a circunferência completa de um círculo é dada por

2 π r

, ou

2 π

comprimentos de raio.

Por que usar radianos em vez de graus?

Assim como escolhemos unidades de comprimento diferentes para diferentes fins, também podemos escolher as unidades de medida dos ângulos com base na situação.

Os graus podem ser úteis quando queremos trabalhar com números inteiros, já que várias frações comuns de um círculo têm números inteiros de graus. Os radianos podem simplificar fórmulas, especialmente quando estamos calculando comprimentos de arco.

Há várias outras formas de medir ângulos, como simplesmente descrever o número de voltas completas ou dividir uma volta completa em 100 partes iguais. O mais importante é se lembrar de informar qual medida você está usando, assim todos vão saber quantas rotações ou parte de rotações há entre os raios do ângulo.

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