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Prova: o raio é perpendicular à reta tangente

Transcrição de vídeo

RKA - Temos uma circunferência de centro O, e vamos traçar por essa circunferência uma tangente l qualquer. Então, aqui vamos traçar a nossa tangente. Opa... beleza. Então, essa é a nossa reta tangente l. Ela toca a circunferência em um único ponto. Esse ponto, vamos chamar de A, é a interseção entre os pontos da circunferência, e os da reta tangente. Ou seja, a interseção é um conjunto unitário onde o ponto de interseção é o ponto A. Nesse vídeo, vamos provar que a reta que liga o ponto OA, que é o nosso raio, é perpendicular à reta tangente l. Como vamos provar isso? Vamos fazer por meio de duas hipóteses. Portanto, vamos escrever a primeira hipótese: "A menor distância entre o centro da circunferência O e a reta tangente l, é OA." Vamos verificar se essa hipótese é verdadeira ou falsa. Todos os pontos que são externos à circunferência têm uma distância maior do que o raio da própria circunferência. Portanto, se pegarmos qualquer ponto da reta tangente que não seja o ponto A, porque é o único que pertence à circunferência, é único da interseção... Qualquer ponto diferente de A será um ponto externo. Ou seja, se eu ligar A a um determinado ponto B, eu tenho que vencer o tamanho de r mais um determinado segmento. Significa que OA é r. Então, OB é maior do que OA. Ele vai diminuindo à medida que eu vou me aproximando dos pontos de A. Ou seja, se eu pegar um ponto C, essa diferença vai diminuindo, mas nunca vai ser tão próximo quanto A. Quando eu passar de A, por exemplo, se eu pegar um ponto D do outro lado do ponto de tangência, nós vamos ter que: essa reta vai ser r mais uma determinada diferença, que faz com que OD seja maior do que OA. Portanto, a primeira hipótese ou a primeira premissa está válida. Está correta. Vamos partir agora para a segunda hipótese. Porque nós provamos que o segmento OA é a menor distância entre o centro da circunferência e a tangente l. Mas não provamos que esse ângulo é de 90 graus. Portanto, vamos para a segunda hipótese. E qual é a nossa segunda hipótese? A nossa segunda hipótese vamos chamar de prova pelo absurdo ou pela contradição. Vamos afirmar que, se tivermos uma reta qualquer r... Temos uma reta qualquer r. E um ponto que não pertence a essa reta r, um ponto B, o segmento que forma a menor distância entre B e a reta r não forma um ângulo de 90 graus. Ou seja, é diferente de 90 graus. Então, vamos chamar esse segmento de c que, segundo a nossa hipótese, é o menor possível. Ou seja, é o menor segmento possível. Portanto, vamos escrever nossa segunda hipótese: "O menor segmento de reta para ligar um ponto não pertencente a r não forma um ângulo reto." Ou seja, o que estamos afirmando é que c é o menor trajeto possível. c é o menor segmento de reta entre B e... Vamos chamar isso aqui de A. Entre B e A. Ou seja, o segmento BA é o menor segmento possível entre o ponto B e a reta r. Ora, sabemos que podemos traçar uma perpendicular à reta r que passe por B. Se nós temos aqui um ângulo reto, nós temos um triângulo retângulo onde esse lado eu vou chamar de b pequeno, e esse lado eu vou chamar de a pequeno. E temos que c (que é a hipotenusa) ao quadrado, é igual a a (que é um cateto) ao quadrado, mais b (que é o outro cateto) ao quadrado. Isso significa que: a² = c² - b². Ora, se b² é um valor positivo que está elevado ao quadrado, e estamos tratando de segmentos, então são valores positivos, e temos que a é c menos alguma coisa, se essa coisa existe, se essa coisa tem um determinado valor, isso significa que o módulo de a tem que ser menor do que o módulo de c. Pela nossa hipótese, nós afirmamos ao contrário. Nós afirmamos que, como o c é o menor segmento possível, nós afirmamos que o segmento c, ou seja, o módulo de c, é menor do que qualquer outro. Ou seja, é menor do que essa ligação. É menor do que o módulo de a. O que cria uma contradição. Um, ele afirma que a tem que ser maior do que c... Desculpa. Um, ele afirma que a tem que ser menor do que c. E a hipótese, ela afirma que c tem que ser menor do que a. Ou seja, se a tem que ser maior do que c, e a tem que ser menor do que c ao mesmo tempo, cria um paradoxo, uma contradição, ou um absurdo. E vemos que, ao se aproximar ou diminuir o tamanho de b, se pegarmos o segmento cada vez mais próximo de a, ou seja, com b tendendo a 0... Vamos pegar aqui um b linha (b'), e aqui vamos ter um c linha (c'). ...vemos que o c está se aproximando de a. E, à medida que ele se aproxima de a, esse ângulo, que era menor, vai se tornando cada vez maior até que se torna 90 graus. Quando passa dessa ligação de B com a reta r através de a... Vamos pegar outro segmento qualquer, vai ser maior também. Ou seja, ela é simétrica dos dois lados. Portanto, o menor segmento de reta entre o ponto B e a reta r, forma um ângulo de 90 graus. Mostrando isso, vamos passar para o nosso problema inicial. Já demonstramos, pela primeira hipótese, que a menor distância entre O e a reta tangente l é o segmento de reta OA. Essa é a menor distância. E agora vemos que, sendo essa a menor distância, o ângulo formado entre o segmento de reta OA, que é o nosso r, é perpendicular à tangente l. Portanto, OA, que é o nosso raio, é perpendicular à tangente l como queremos demonstrar.