Demonstração: raio perpendicular divide corda ao meio

RKA20JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos mostrar que o raio perpendicular divide uma corda ao meio. Como assim? Aqui, temos um círculo de centro O e o raio dele é perpendicular ao segmento AC. E o que queremos provar é que OD divide AC ao meio. Uma outra maneira de pensar nisso é que queremos provar que o segmento OD intercepta o segmento AC no ponto médio, que é M. Sugiro que você pause o vídeo e tente responder isso sozinho. Vamos lá, então! A maneira mais fácil de fazer isso é pensando em congruência de triângulos. E para isso, traçamos o raio aqui, formando o segmento AC, e outro raio aqui, formando o segmento OA. E como ambos são raios, sabemos que AO = OC. Isso porque ambos são raios e, como sabemos, em um círculo, o raio não muda. Posso até colocar um traço aqui e outro aqui, indicando que esses segmentos são iguais. Também sabemos que o segmento OM é congruente a si mesmo. Ou seja, ele é lado comum a esses dois triângulos. O segmento OM é congruente a ele mesmo por causa da reflexividade. Então, esse segmento aqui é congruente a si mesmo. E, se você não percebeu ainda, aqui, temos dois triângulos retângulos. E como eu sei disso? Bem, o exercício falou que OD ⊥ AC. Por causa disso, os ângulos formados entre eles são de 90°. Será que esses triângulos são congruentes? Lembrando que ter dois pares de lados iguais não significa congruência, tá? Mas em um triângulo retângulo, temos um caso especial. E o caso especial é o caso cateto-hipotenusa. Ou seja, se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então, esses triângulos são congruentes. Se você observar, os triângulos têm em comum um cateto e, também, a hipotenusa. Isso é suficiente para dizer que esses dois triângulos são congruentes pelo critério cateto-hipotenusa. Claro que você poderia utilizar o teorema de Pitágoras em ambos os triângulos e descobrir que esse lado é igual a esse. Então, na nossa prova, podemos colocar que o ΔAMO é congruente ao ΔCMO pelo critério CH, que é cateto-hipotenusa. E se os triângulos são congruentes, então, os lados correspondentes têm que ser iguais. Portanto, o segmento AM é congruente ao segmento CM. Ou seja, esse lado aqui é igual a esse lado aqui e, consequentemente, OD divide AC em duas partes iguais. Então, isso aqui implica que OD divide AC ao meio, conforme queríamos demonstrar. Espero que esta aula tenha ajudado, e até a próxima, pessoal!