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Geometria intermediária

Curso: Geometria intermediária > Unidade 3

Lição 4: Teoremas que envolvem propriedades de triângulos

Propriedades de congruência e igualdade

Saiba quando aplicar as propriedades reflexiva, transitiva e simétrica em provas geométricas. Aprenda a relação entre medidas iguais e figuras congruentes.

Há diversas formas de escrever demonstrações de provas e algumas delas são mais formais que outras. Em demonstrações muito formais, justificamos afirmações que podem parecer óbvias para você. A razão pela qual as justificamos é que elas servem apenas para alguns tipos de relação. O que é verdade para uma relação de igualdade não é necessariamente verdade, por exemplo, para uma relação de desigualdade.

Vamos analisar algumas dessas propriedades. Vamos usar o símbolo \bigstar para representar uma relação desconhecida.

Propriedade reflexiva

Quando uma relação \bigstar tem uma propriedade reflexiva, isso significa que a relação sempre é verdadeira entre uma coisa e ela mesma. Portanto, A, \bigstar, A.

Quais são algumas das relações que usam isso?

Relação	Símbolos	Exemplo
Igualdade	equals	minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction, equals, minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction
Congruência	\cong	angle, M, N, P, \cong, angle, M, N, P
Semelhança	\sim	triangle, M, N, P, \sim, triangle, M, N, P

Usamos muito a propriedade reflexiva quando estamos analisando formas que compartilham lados ou ângulos.

Se estivermos falando sobre como triangle, M, N, Q e triangle, P, N, Q se relacionam, podemos afirmar que start overline, N, Q, end overline, \cong, start overline, N, Q, end overline pela propriedade reflexiva.

Quais são algumas das relações que não usam isso?

Desigualdades estritas não têm uma propriedade reflexiva. Por exemplo, 3, \nless, 3.

Ser a mãe de alguém não é uma relação reflexiva. Eu não sou minha própria mãe.

Propriedade simétrica

Quando uma relação \bigstar tem uma propriedade simétrica, isso significa que se a relação for verdadeira entre duas coisas, ela é verdadeira em qualquer ordem. Se A, \bigstar, B, então B, \bigstar, A.

Quais são algumas das relações que usam isso?

Relação	Símbolos	Exemplo
Igualdade	equals	Se 8, equals, 11, minus, 3, então 11, minus, 3, equals, 8.
Congruência	\cong	Se start overline, V, W, end overline, \cong, start overline, X, Y, end overline, então start overline, X, Y, end overline, \cong, start overline, V, W, end overline.
Semelhança	\sim	Se A, B, C, D, \sim, L, M, N, P, então L, M, N, P, \sim, A, B, C, D.
Paralelismo	\parallel	Se a reta m, \parallel à reta n, então a reta n, \parallel à reta m.
Perpendicularidade	\perp	Se S, T, with, \overrightarrow, on top, \perp, U, V, with, \overleftrightarrow, on top, então U, V, with, \overleftrightarrow, on top, \perp, S, T, with, \overrightarrow, on top.

Pela definição da maioria das pessoas, a amizade é uma relação simétrica. Se Alice é amiga de Karen, então Karen é amiga de Alice.

Quais são algumas das relações que não usam isso?

Desigualdades estritas não têm uma propriedade simétrica. Por exemplo, 10, is less than, 100, mas 100, \nless, 10.

Ser a mãe de alguém também não é uma relação simétrica. Se Karen for mãe de Sandra, então Sandra não pode ser mãe de Karen.

Propriedade transitiva

Quando uma relação \bigstar tem uma propriedade transitiva, então duas coisas que se relacionam a uma coisa comum entre elas também se relacionam entre si. Se A, \bigstar, B e B, \bigstar, C, então A, \bigstar, C.

Quais são algumas das relações que usam isso?

Relação	Símbolos	Exemplo
Igualdade	equals	Se m, angle, F, equals, m, angle, G e m, angle, G, equals, m, angle, H, então m, angle, F, equals, m, angle, H.
Congruência	\cong	Se triangle, R, S, T, \cong, triangle, W, X, Y e triangle, W, X, Y, \cong, triangle, F, G, H, então triangle, R, S, T, \cong, triangle, F, G, H.
Semelhança	\sim	Se o círculo A, \sim ao círculo B e o círculo B, \sim ao círculo D, então o círculo A, \sim ao círculo D.
Paralelismo	\parallel	Se start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, L, M, end overline e start overline, L, M, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline, então start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline.

Quais são algumas das relações que não usam isso?

A perpendicularidade não é transitiva.

Na figura, start overline, A, B, end overline, \perp, start overline, A, C, end overline e start overline, A, C, end overline, \perp, start overline, C, D, end overline, mas start overline, A, B, end overline é paralela a start overline, C, D, end overline, não perpendicular.

A amizade também não é transitiva. Se Ezequiel é amigo de Rosana e Rosana é amiga do Nelson, não sabemos se Ezequiel é amigo do Nelson ou não.

Igualdade versus congruência

Igualdade e congruência estão intimamente ligadas, mas são diferentes. Usamos relações de igualdade para tudo o que podemos expressar com números, incluindo medidas, fatores de escala e razões.

Valor	Exemplo
Medidas de ângulo	m, angle, A, plus, m, angle, B, equals, 90, degree
Comprimentos de segmento	M, N, equals, P, Q, equals, 5
Área	Área D, E, F, G, equals, 81, start text, c, m, end text, squared
Razão	start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, J, K, divided by, K, L, end fraction

Usamos relações de congruência e semelhança para figuras geométricas. Não podemos realizar operações aritméticas como soma e multiplicação em figuras geométricas.

Figura	Exemplo
Ângulo	angle, A, \cong, angle, C
Segmento de reta	start overline, M, N, end overline, \cong, start overline, P, Q, end overline
Polígono	triangle, D, E, F, \sim, triangle, G, H, I
Círculo	Todos os círculos são semelhantes a todos os outros círculos.

Há três teoremas muito úteis que conectam a igualdade e a congruência.

Dois ângulos são congruentes se e somente se eles tiverem medidas iguais.
Dois segmentos são congruentes se e somente se eles tiverem medidas iguais.
Dois triângulos são congruentes se e somente se todos os ângulos e lados correspondentes forem congruentes.

Portanto, na figura a seguir temos que A, B, equals, C, D, equals, 3, comma, 2.

Em uma demonstração muito formal, precisaríamos de uma linha separada para afirmar que start overline, A, B, end overline, \cong, start overline, C, D, end overline. Demonstrações e provas mais informais usam medidas iguais e partes congruentes de forma intercambiável. Verifique de qual delas você precisa!

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jeniferpinheiro.1711
Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “seja especifico e adicion...” de jeniferpinheiro.1711
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, como a lua consegue tapar o sol
o sol nao e bem maior que a lua
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