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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 3
Lição 4: Teoremas que envolvem propriedades de triângulos- Propriedades de congruência e igualdade
- Prova de que os ângulos de um triângulo somam 180°
- Demonstrações que envolvem triângulos isósceles
- Demonstrações que envolvem triângulos equiláteros
- Exemplo com ângulos externos de um triângulo
- Demonstre as propriedades do triângulo
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Propriedades de congruência e igualdade
Saiba quando aplicar as propriedades reflexiva, transitiva e simétrica em provas geométricas. Aprenda a relação entre medidas iguais e figuras congruentes.
Há diversas formas de escrever demonstrações de provas e algumas delas são mais formais que outras. Em demonstrações muito formais, justificamos afirmações que podem parecer óbvias para você. A razão pela qual as justificamos é que elas servem apenas para alguns tipos de relação. O que é verdade para uma relação de igualdade não é necessariamente verdade, por exemplo, para uma relação de desigualdade.
Vamos analisar algumas dessas propriedades. Vamos usar o símbolo \bigstar para representar uma relação desconhecida.
Propriedade reflexiva
Quando uma relação \bigstar tem uma propriedade reflexiva, isso significa que a relação sempre é verdadeira entre uma coisa e ela mesma. Portanto, A, \bigstar, A.
Quais são algumas das relações que usam isso?
| Relação | Símbolos | Exemplo |
|---|---|---|
| Igualdade | equals | minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction, equals, minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction |
| Congruência | \cong | angle, M, N, P, \cong, angle, M, N, P |
| Semelhança | \sim | triangle, M, N, P, \sim, triangle, M, N, P |
Usamos muito a propriedade reflexiva quando estamos analisando formas que compartilham lados ou ângulos.
Se estivermos falando sobre como triangle, M, N, Q e triangle, P, N, Q se relacionam, podemos afirmar que start overline, N, Q, end overline, \cong, start overline, N, Q, end overline pela propriedade reflexiva.
Quais são algumas das relações que não usam isso?
Desigualdades estritas não têm uma propriedade reflexiva. Por exemplo, 3, \nless, 3.
Ser a mãe de alguém não é uma relação reflexiva. Eu não sou minha própria mãe.
Propriedade simétrica
Quando uma relação \bigstar tem uma propriedade simétrica, isso significa que se a relação for verdadeira entre duas coisas, ela é verdadeira em qualquer ordem. Se A, \bigstar, B, então B, \bigstar, A.
Quais são algumas das relações que usam isso?
| Relação | Símbolos | Exemplo |
|---|---|---|
| Igualdade | equals | Se 8, equals, 11, minus, 3, então 11, minus, 3, equals, 8. |
| Congruência | \cong | Se start overline, V, W, end overline, \cong, start overline, X, Y, end overline, então start overline, X, Y, end overline, \cong, start overline, V, W, end overline. |
| Semelhança | \sim | Se A, B, C, D, \sim, L, M, N, P, então L, M, N, P, \sim, A, B, C, D. |
| Paralelismo | \parallel | Se a reta m, \parallel à reta n, então a reta n, \parallel à reta m. |
| Perpendicularidade | \perp | Se S, T, with, \overrightarrow, on top, \perp, U, V, with, \overleftrightarrow, on top, então U, V, with, \overleftrightarrow, on top, \perp, S, T, with, \overrightarrow, on top. |
Pela definição da maioria das pessoas, a amizade é uma relação simétrica. Se Alice é amiga de Karen, então Karen é amiga de Alice.
Quais são algumas das relações que não usam isso?
Desigualdades estritas não têm uma propriedade simétrica. Por exemplo, 10, is less than, 100, mas 100, \nless, 10.
Ser a mãe de alguém também não é uma relação simétrica. Se Karen for mãe de Sandra, então Sandra não pode ser mãe de Karen.
Propriedade transitiva
Quando uma relação \bigstar tem uma propriedade transitiva, então duas coisas que se relacionam a uma coisa comum entre elas também se relacionam entre si. Se A, \bigstar, B e B, \bigstar, C, então A, \bigstar, C.
Quais são algumas das relações que usam isso?
| Relação | Símbolos | Exemplo |
|---|---|---|
| Igualdade | equals | Se m, angle, F, equals, m, angle, G e m, angle, G, equals, m, angle, H, então m, angle, F, equals, m, angle, H. |
| Congruência | \cong | Se triangle, R, S, T, \cong, triangle, W, X, Y e triangle, W, X, Y, \cong, triangle, F, G, H, então triangle, R, S, T, \cong, triangle, F, G, H. |
| Semelhança | \sim | Se o círculo A, \sim ao círculo B e o círculo B, \sim ao círculo D, então o círculo A, \sim ao círculo D. |
| Paralelismo | \parallel | Se start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, L, M, end overline e start overline, L, M, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline, então start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline. |
Quais são algumas das relações que não usam isso?
A perpendicularidade não é transitiva.
Na figura, start overline, A, B, end overline, \perp, start overline, A, C, end overline e start overline, A, C, end overline, \perp, start overline, C, D, end overline, mas start overline, A, B, end overline é paralela a start overline, C, D, end overline, não perpendicular.
A amizade também não é transitiva. Se Ezequiel é amigo de Rosana e Rosana é amiga do Nelson, não sabemos se Ezequiel é amigo do Nelson ou não.
Igualdade versus congruência
Igualdade e congruência estão intimamente ligadas, mas são diferentes. Usamos relações de igualdade para tudo o que podemos expressar com números, incluindo medidas, fatores de escala e razões.
| Valor | Exemplo |
|---|---|
| Medidas de ângulo | m, angle, A, plus, m, angle, B, equals, 90, degree |
| Comprimentos de segmento | M, N, equals, P, Q, equals, 5 |
| Área | Área D, E, F, G, equals, 81, start text, c, m, end text, squared |
| Razão | start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, J, K, divided by, K, L, end fraction |
Usamos relações de congruência e semelhança para figuras geométricas. Não podemos realizar operações aritméticas como soma e multiplicação em figuras geométricas.
| Figura | Exemplo |
|---|---|
| Ângulo | angle, A, \cong, angle, C |
| Segmento de reta | start overline, M, N, end overline, \cong, start overline, P, Q, end overline |
| Polígono | triangle, D, E, F, \sim, triangle, G, H, I |
| Círculo | Todos os círculos são semelhantes a todos os outros círculos. |
Há três teoremas muito úteis que conectam a igualdade e a congruência.
- Dois ângulos são congruentes se e somente se eles tiverem medidas iguais.
- Dois segmentos são congruentes se e somente se eles tiverem medidas iguais.
- Dois triângulos são congruentes se e somente se todos os ângulos e lados correspondentes forem congruentes.
Portanto, na figura a seguir temos que A, B, equals, C, D, equals, 3, comma, 2.
Em uma demonstração muito formal, precisaríamos de uma linha separada para afirmar que start overline, A, B, end overline, \cong, start overline, C, D, end overline. Demonstrações e provas mais informais usam medidas iguais e partes congruentes de forma intercambiável. Verifique de qual delas você precisa!
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em5:31, como a lua consegue tapar o sol
o sol nao e bem maior que a lua(0 votos)
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