Exemplo com ângulos externos de um triângulo

RKA - O que eu quero fazer agora, é uma série de problemas com o uso de paralelas e triângulos para usarmos nosso conhecimento. O que temos aqui é um problema, relativamente, clássico. O que eu quero fazer é fazer esses cálculos, usando as informações fornecidas aqui. Então, obviamente, aqui tem um triângulo, temos outro triângulo aqui e também alguns dos ângulos internos desses triângulos. Baseado nas informações que eu tenho, eu quero calcular qual é a medida deste ângulo aqui? Preciso saber qual é a medida do ponto de interrogação, então dá para começar usando as regras que você já conhece sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e, também, o que você já conhece sobre ângulos suplementares. Então, talvez queira fazer uma pausa para resolver isso sozinho porque, agora, eu vou te dar a resolução desse problema. Então, a primeira coisa que poderia dizer é que essa é uma forma comum de raciocinar sobre muitos desses problemas que têm alguns ângulos e tem que calcular os outros se baseado na soma total que é igual a 180, ou outros com linhas paralelas, propriedades das paralelas, ângulos suplementares, ângulos complementares, usando as regras que já conhece e, de um ou de outro jeito, você vai ser capaz de chegar ao valor do ponto de interrogação. Bom, a primeira coisa que chama minha atenção é que temos um triângulo aqui. Temos um triângulo à esquerda e, nesse triângulo, temos dois dos seus ângulos e, se você tem dois ângulos de um triângulo, pode calcular a medida do terceiro porque a soma deles será igual a 180 graus. Então, se a gente chamar isso de "x", sabemos que "x" mais 50 mais 64 será igual a 180º. Também, podemos dizer "x" mais, quanto vai dar isso? 114, "x" mais 114 vai ser igual a 180º. Podemos subtrair 114 nos dois lados da equação, que a gente vai ter que "x" é igual a 180 menos 114. Então, 80 menos 14, 80 menos 10 seria 70, menos 4 vai ser 66, então "x" é igual a 66º. Bom, se "x" é igual a 66°, então, creio que o outro ângulo pode ser calculado sem dificuldades. Vou escrever assim: Então, "x" é igual a é igual a 66º. Conhecendo esse ângulo aqui, sabendo que a medida desse ângulo é 66°, sabemos que aquele ângulo é suplementar a esse ângulo, os seus lados externos são adjacentes e formam um ângulo raso, então, se chamarmos este ângulo aqui de "y", sabemos que "y" mais "x" vai ser igual a 180º. Sabemos que "x" é igual a 66°, então isto é, 66. Podemos subtrair 66 dos dois lados e, chegamos a "y", cancelamos esses dois, 180 menos 66 é 114 e esse número deve ser familiar para você. Perceba que 114 é o resultado exato da soma desses dois ângulos. Esse é, na verdade, o conceito geral. Vou fazer aqui do lado para provar para você. Digamos, que eu tenha esses dois ângulos e a medida daquele ângulo é "a" e, a minha medida daquele ângulo, é "b". Então, sabemos que a medida desse ângulo será igual a 180 menos "a" menos "b". Esse ângulo bem aqui e esse ângulo, que é considerado um ângulo externo e, nesse exemplo, "y" é um ângulo externo, esse é o nosso ângulo externo que é suplementar a 180 menos "a" menos "b". Então, este ângulo mais 180 menos "a" menos "b" será igual a 180. Então, se chamarmos de "y", vai ficar "y" mais 180 menos "a" menos "b" igual a 180. Você subtrai 180 nos dois lados, pode somar (a + b) aos dois lados. (a + b), (a + b), o espaço está acabando aqui do lado direito, e aí sobram esses do lado esquerdo, você cancela e fica "y" do lado esquerdo e, do lado direito, fica (a + b). Então, isso é uma propriedade geral. Dá para montar tudo isso sozinho, tendo a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo cuja soma é 180º. E, tem ângulos suplementares aqui ou também dá para dizer: "Olha! Eu tenho o ângulo externo e ele é igual à soma dos ângulos internos opostos." Outra forma de dizer isso: "y" é igual a (a + b), 114º e, como já vimos antes, é igual a 64° mais 50º. Mas, de qualquer forma, independentemente de como fazemos isso, vamos raciocinando passo a passo e conhecendo essas propriedades que aplicamos aqui. Se sabemos que "y" é igual a 114º e, gosto de raciocinar sempre para não chegar a conclusões precipitadas, então, se "y" é igual a 114º, sabemos, este ângulo nos foi dado logo no início e, agora, precisamos calcular esse terceiro ângulo deste triângulo. Então, se chamarmos isso de dizer "z", se chamarmos esse ponto de interrogação de "z", sabemos que "z" mais 114 "z" mais 114 mais 31 é igual a 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º e esta é a única propriedade que estamos usando nesta fase, então, temos "z" mais, quanto dá isso? 145 é igual a 180, se eu não errei aqui, temos 15 e temos 30 é, 145, aqui 180, subtrairmos 145 nos dois lados desta equação e nos sobra "z" que é igual a 80 menos 45. Então, "z" é igual a 35º. Olha que beleza! 35º e, assim, terminamos!