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Conteúdo principal
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Transcrição de vídeo

nós temos um paralelogramo o que a gente quer provar é que suas diagonais são bissectriz de seus ângulos então a primeira coisa que podemos pensar é que elas não são apenas diagonais elas são segmentos de reta que interceptam outros segmentos de retas paralelas portanto também podemos vê las como transversais se nos concentrarmos no db aqui vemos que ele intercepta descer ea b esses nós sabemos que são para lograrmos sabemos que eles são paralelos este é um paralelogramo os ângulos ao termos internos devem ser congruente portanto esse ângulo deve ser igual a esse outro ângulo vamos fazer uma marcação aqui vamos chamar esse ponto médio de e sabemos que o ângulo a b e deve ser congruente ao ângulo cd por causa dos ângulos alterna os internos de uma transversal que intercepta dois segmentos paralelos formando ângulos alterna os internos se olharmos para a diagonal a ser podemos também chamá la de transversal a ser que podemos usar o mesmo argumento ela cruza aqui e aqui esses dois segmentos de rotação paralelos os ângulos alterna os internos devem ser congruente então ângulo dc deve ser vamos escrever isso deve ser congruente ao ângulo b a e exatamente pelo mesmo motivo temos algo interessante aqui se olharmos para esse triângulo superior aqui e esse triângulo inferior temos um conjunto de ângulos correspondentes que são congruentes temos um lado no meio que é congruente na verdade vamos escrever isso explicitamente sabemos e provamos no vídeo anterior que para lograrmos não tem apenas lados opostos paralelos mas eles também são congruentes sabemos pelo vídeo anterior que esse lado é igual a esse lado então vamos voltar para o que estava dizendo temos dois conjuntos de ângulos correspondentes que são congruentes temos um lado no meio que é congruente também temos outro conjunto de ângulos correspondentes que são congruentes sabemos que esse triângulo é congruente esse triângulo pelo critério angular do ângulo a gente sabe que o triângulo a b e c o triângulo a b e é congruente ao triângulo c d e e pelo critério de congruência angulado ângulo mas em que isso nos ajuda se temos dois triângulos congruentes podemos saber que todas as suas características correspondentes especialmente todos os lados correspondentes são congruentes sabemos que o lado e se corresponda a ou poderemos também dizer lado a e corresponde ao lado se eles são lados correspondentes de um triângulo com grande portanto suas medidas ou seus cumprimentos devem ser os mesmos por isso aí deve ser igual a si vamos colocar duas barras pois já usou uma barra aqui vamos nos concentrar nisso sabemos que o bb deve ser igual à de e mais uma vez eles são lados correspondentes de dois triângulos congruentes portanto devem ter o mesmo comprimento eles são lados correspondentes de triângulos congruentes d e e é igual à de e aí está a nossa prova demonstramos que a diagonal de b divide a ser em dois segmentos de comprimento igual e vice versa a sede vídeo de bebê em dois segmentos de cumprimentos iguais portanto eles são bissectriz agora vamos pensar de forma contrária vamos provar que se tivermos duas diagonais de um quadrilátero que sejam bissectriz esse quadrilátero será um paralelogramo vejamos vamos supor que as duas diagonais sejam bicêtre vezes uma em relação à outra então estamos assumindo que isso aqui é igual a isso aqui e que isso aqui é igual a isso aqui queremos provar que essa figura é um paralelogramo e pra isso apenas temos que lembrar que esse ângulo é igual a esse outro ângulo uma das primeiras coisas que aprendemos já que esses ângulos são verticais então vamos escrever isso c vamos marcar esse ponto o ângulo c e d é igual a outra é congruente ao ângulo b ea ângulo b ea isso porque isso aqui bom isso nos mostra que esses dois triângulos são congruentes porque temos lados correspondentes em um ângulo no meio agora sabemos que o triângulo vamos manter isso em amarelo o triângulo a a e b é congruente ao triângulo de s por sua congruência lado angulado por causa dos triângulos congruência lado angulado muito bem agora sabemos que esses dois triângulos são congruentes sabemos que todos os lados e ângulos correspondentes são congruentes dessa forma por exemplo a gente sabe que o ângulo c d e e é congruente ao ângulo bea e ângulo bea e e eles são apenas ângulos correspondentes de triângulos congruentes agora temos essa transversal desses dois segmentos que podem ser paralelos se os ângulos alterna os internos forem congruentes e podemos ver que eles são esses dois ângulos são candidatos a ângulos alterna os internos e são congruentes portanto ab portanto ab deve ser paralelo à cd paralelo à cd portanto vamos desenhar uma seta a b deve ser paralelo aceder por causa dos ângulos alterna os internos congruentes dos segmentos paralelos estou escrevendo de forma abreviada desculpa essa forma enigmática eu também está falando assim podemos fazer exatamente a mesma coisa apenas mostrando que esses dois lados são paralelos podemos usar exatamente a mesma lógica para mostrar que esses dois lados são paralelos não necessariamente precisa escrever tudo é exatamente a mesma prova para demonstrar essas duas coisas em primeiro lugar sabemos que esse ângulo é congruente a esse outro aqui vamos escrever isso sabemos que o ângulo a esse ângulo a esse é congruente ao ângulo de e b eles são ângulos verticais e essa é a razão aqui em cima também ângulos verticais então podemos ver que o triângulo a e c deve ser congruente ao triângulo de bebê por causa do critério lado angulado sabemos que o triângulo no a&e se deve ser congruente ao triângulo d&b pela congruência lado angulado a gente sabe que os ângulos correspondentes devem ser congruente portanto sabemos que esse ângulo por exemplo o ângulo se a e deve ser congruente ao ângulo b d e e esses são os ângulos correspondentes de triângulos congruentes c&a e vamos usar uma nova cor c&a e deve ser congruente a b d e b d e agora temos uma transversal os ângulos alterna os internos são congruentes portanto os dois segmentos que as transversais interceptam devem ser paralelas assim isso deve ser paralelo a isso sabemos que a ce deve ser paralelo à bd por causa dos ângulos alterna os internos e terminamos acabamos de provar que se as diagonais forem bissectriz em relação uma outra se começamos tendo isso como dado podemos concluir que os lados opostos deste quadrilátero devem ser paralelos ou que abcd é um paralelogramo