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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 3
Lição 1: Transformações e congruência- Preparação para congruência
- Formas e transformações congruentes
- Formas e transformações não congruentes
- Congruência e transformações
- Congruência entre segmentos é equivalente a ter o mesmo comprimento
- Congruência entre ângulos é equivalente a ter a mesma medida
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Congruência entre segmentos é equivalente a ter o mesmo comprimento
Dois segmentos de reta são congruentes se e somente se eles tiverem comprimentos iguais.
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Transcrição de vídeo
RKA10MP – E aí, pessoal, tudo bem?
Nesta aula, vamos provar que se dois segmentos
são equivalentes, então, eles possuem
o mesmo comprimento. Para isso, coloquei
duas definições aqui, sendo que a primeira é a definição
de transformações rígidas, que até vimos em outras aulas, e essas são transformações que preservam
a distância entre os pontos. Então, por exemplo, digamos
que eu tenha um segmento AB aqui e que ele sofra uma transformação,
por exemplo, uma translação. A distância entre os pontos
“A” e “B” ainda será mantida. Até mesmo se eu girar este
segmento com o centro em “A”, a distância deste segmento
ainda vai ser preservada. Ou seja, em transformações rígidas, os segmentos têm as suas
distâncias preservadas. E o que não é uma transformação rígida? Uma dilatação não é
uma transformação rígida. Por exemplo, se eu dilatasse
este segmento, ele teria um tamanho
menor do que o original. Portanto, não seria
uma transformação rígida. Agora, a definição de congruência
que vamos utilizar aqui é: Duas figuras são congruentes
se e somente se pudermos transformar uma na outra
usando transformações rígidas. Você pode até ver outras
definições de congruência, mas nesta aula
vamos utilizar essa. E vou utilizar
essas duas definições para provar que os segmentos
AB e CD são congruentes se e somente se possuem
o mesmo comprimento. E posso descer aqui
para provarmos isso. Primeiro, vou provar
que se o segmento AB é congruente ao segmento CD, então, AB é igual a CD.
E como podemos fazer isso? Para provar isso,
temos que pensar o seguinte: Se AB é congruente a CD, então, AB pode
ser transformado em CD com transformações rígidas.
Isso vem da ideia de congruência. E se as transformações são rígidas, então, a distância é preservada. E isso implica que o segmento AB é igual ao segmento CD. Ou seja, isso é bem intuitivo. Se os segmentos são congruentes, então, o segmento AB
pode ser transformado em CD com transformações rígidas e por causa dessas
transformações rígidas, a distância é preservada
e, por isso, AB é igual a CD. Agora, será que conseguimos
provar o contrário? Vamos provar uma segunda
afirmação aqui. Vamos tentar provar
que se AB é igual a CD, então, AB é congruente a CD. Posso começar desenhando
o segmento AB aqui, este é o segmento AB, e também posso desenhar CD
com o mesmo comprimento. E para provar que estes
dois segmentos são congruentes, tenho que fazer
uma série de transformações, de modo que um segmento
fique sobre o outro. E a primeira transformação
que posso fazer aqui é a translação. Então, essa translação vai ser em AB,
de modo que “A” fique sobre “C”. Ou seja, este ponto
vai ser transladado, ficando sobre “C” e, com isso, o ponto “B”
também é transladado para cá. E depois dessa translação,
o ponto “A” estará aqui sobre “C”, e o ponto B estará bem aqui. E a segunda etapa é uma rotação. Uma rotação do segmento AB
sobre o ponto “A”, ou seja, com o centro em “A”,
o “A” é o centro da rotação, o que quer dizer que vamos
rotacionar este segmento, e isso acaba fazendo
com que “B” fique sobre CD. Basicamente, o que essa
segunda transformação faz, já sabendo que “A”
está aqui sobre “C”, é rotacionar este segmento, e agora o segmento AB
está nesta direção, e como o segmento AB
é igual ao segmento CD, então, o “B” fica
aqui sobre o “D”. Posso colocar aqui
que se AB é igual a CD, então, “B” fica sobre “D”. Portanto, se AB é igual a CD, existem transformações que transformam
AB e CD no mesmo segmento. E com isso, conseguimos mostrar
que AB é congruente a CD, ou seja, conseguimos
provar o que queríamos. Espero que esta aula tenha te ajudado.
E até a próxima, pessoal!