Congruência entre segmentos é equivalente a ter o mesmo comprimento

RKA10MP – E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos provar que se dois segmentos são equivalentes, então, eles possuem o mesmo comprimento. Para isso, coloquei duas definições aqui, sendo que a primeira é a definição de transformações rígidas, que até vimos em outras aulas, e essas são transformações que preservam a distância entre os pontos. Então, por exemplo, digamos que eu tenha um segmento AB aqui e que ele sofra uma transformação, por exemplo, uma translação. A distância entre os pontos “A” e “B” ainda será mantida. Até mesmo se eu girar este segmento com o centro em “A”, a distância deste segmento ainda vai ser preservada. Ou seja, em transformações rígidas, os segmentos têm as suas distâncias preservadas. E o que não é uma transformação rígida? Uma dilatação não é uma transformação rígida. Por exemplo, se eu dilatasse este segmento, ele teria um tamanho menor do que o original. Portanto, não seria uma transformação rígida. Agora, a definição de congruência que vamos utilizar aqui é: Duas figuras são congruentes se e somente se pudermos transformar uma na outra usando transformações rígidas. Você pode até ver outras definições de congruência, mas nesta aula vamos utilizar essa. E vou utilizar essas duas definições para provar que os segmentos AB e CD são congruentes se e somente se possuem o mesmo comprimento. E posso descer aqui para provarmos isso. Primeiro, vou provar que se o segmento AB é congruente ao segmento CD, então, AB é igual a CD. E como podemos fazer isso? Para provar isso, temos que pensar o seguinte: Se AB é congruente a CD, então, AB pode ser transformado em CD com transformações rígidas. Isso vem da ideia de congruência. E se as transformações são rígidas, então, a distância é preservada. E isso implica que o segmento AB é igual ao segmento CD. Ou seja, isso é bem intuitivo. Se os segmentos são congruentes, então, o segmento AB pode ser transformado em CD com transformações rígidas e por causa dessas transformações rígidas, a distância é preservada e, por isso, AB é igual a CD. Agora, será que conseguimos provar o contrário? Vamos provar uma segunda afirmação aqui. Vamos tentar provar que se AB é igual a CD, então, AB é congruente a CD. Posso começar desenhando o segmento AB aqui, este é o segmento AB, e também posso desenhar CD com o mesmo comprimento. E para provar que estes dois segmentos são congruentes, tenho que fazer uma série de transformações, de modo que um segmento fique sobre o outro. E a primeira transformação que posso fazer aqui é a translação. Então, essa translação vai ser em AB, de modo que “A” fique sobre “C”. Ou seja, este ponto vai ser transladado, ficando sobre “C” e, com isso, o ponto “B” também é transladado para cá. E depois dessa translação, o ponto “A” estará aqui sobre “C”, e o ponto B estará bem aqui. E a segunda etapa é uma rotação. Uma rotação do segmento AB sobre o ponto “A”, ou seja, com o centro em “A”, o “A” é o centro da rotação, o que quer dizer que vamos rotacionar este segmento, e isso acaba fazendo com que “B” fique sobre CD. Basicamente, o que essa segunda transformação faz, já sabendo que “A” está aqui sobre “C”, é rotacionar este segmento, e agora o segmento AB está nesta direção, e como o segmento AB é igual ao segmento CD, então, o “B” fica aqui sobre o “D”. Posso colocar aqui que se AB é igual a CD, então, “B” fica sobre “D”. Portanto, se AB é igual a CD, existem transformações que transformam AB e CD no mesmo segmento. E com isso, conseguimos mostrar que AB é congruente a CD, ou seja, conseguimos provar o que queríamos. Espero que esta aula tenha te ajudado. E até a próxima, pessoal!