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Demonstração do critério de congruência de triângulos LLL usando transformações

Podemos provar o critério de congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL) usando a definição de congruência de transformações rígidas. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

[RKAC20] E aí, pessoal?! Tudo bem? O que vamos fazer neste vídeo é ver que, quando temos dois triângulos em que os lados correspondentes têm a mesma medida... Neste caso aqui, o lado laranja tem o mesmo comprimento que este lado laranja aqui, e o lado azul deste triângulo é igual a este outro aqui, e o lado cinza é igual ao lado cinza deste triângulo. Então, podemos deduzir que estes dois triângulos são congruentes entre si com base na definição de congruência de transformação rígida. Para provar isso, só temos que mostrar que sempre há uma série de transformações rígidas que nos possibilita colocar o triângulo ABC sobre o triângulo EDF. Mas como podemos fazer isso? Antes de tudo, em outros vídeos, já mostramos que, se temos dois segmentos de reta que têm a mesma medida, então, eles são congruentes. Você pode colocar um sobre o outro utilizando transformações rígidas. Se você não lembra o que é uma transformação rígida, nada mais é do que uma transformação que não altera o tamanho ou a forma da figura. Então, basicamente, o que temos que fazer é uma série dessas transformações em que vamos deixar o segmento AB sobre o segmento ED. E como você pode fazer isso? Primeiro, vamos transladar o ponto A para o ponto E, ou seja, você translada o lado esquerdo para o lado de forma que o ponto A fique sobre o ponto E e, com isso, o lado AB vai estar nesta direção. Depois disso, você rotaciona o triângulo ao redor deste ponto aqui, que podemos chamar de A', de modo que o lado AB coincida com o lado ED. Então, este ponto vai ser igual ao B', que é o ponto B sobre o triângulo da direita. Mas a minha pergunta é: onde está C? Se, com uma transformação rígida, conseguimos levar C para F, então, a nossa prova estará completa, correto? Ou seja, teríamos que mostrar, com uma série de transformações rígidas, que você pode pegar este triângulo e colocar aqui. E podemos utilizar este compasso, que vai ser muito útil. Conseguimos medir este comprimento com ele, desta forma, com a ponta seca. Com isso, C vai estar em algum lugar deste arco que estou fazendo, este arco aqui. Aqui estão: as mesmas medidas do ponto E e do comprimento AC. Também sabemos que o comprimento BC é este aqui. Podemos transladá-lo para a direita. Colocando a ponta seca sobre B', C' vai estar vai estar em algum lugar deste arco. Como sabemos, C deve estar em ambos os arcos. Eu vou escolher este aqui, onde C = F. Pronto, a nossa prova está completa! Conseguimos colocar o triângulo da esquerda sobre o da direita utilizando transformações rígidas. Agora, uma outra possibilidade é o C' estar aqui. Nesse caso, qual transformação rígida poderíamos fazer para que C' termine em F? Lembre-se que os outros dois pontos já coincidem com E e D. Então, só temos que fazer com que C' coincida com F. Uma maneira de pensar nisso é que o ponto E é equidistante de C' e F. Ou seja, este comprimento é igual a este aqui. Isso porque ambos são raios deste arco aqui. E sabemos que C' está à mesma distância de D, assim como D está à mesma distância de F. Imagine que você tenha um segmento de reta entre F e C'. Eu posso utilizar uma régua para ficar mais certinho. Só para lembrar, estamos trabalhando com um caso em que C' não está sobre F. Está aqui. Como você pode ver, o ponto E é equidistante de C' e F. Ele fica sobre a bissetriz dessa reta que traçamos e é perpendicular a ela. E o mesmo acontece com D ou B': eles estão na bissetriz do segmento FC, porque são equidistantes de F e C'. Portanto, sabemos que este segmento em laranja é a bissetriz perpendicular de FC. O mesmo acontece com D ou B: estão na bissetriz do segmento FC, porque são equidistantes de F e C. Isso nos mostra que, depois que fizermos a primeira transformação para coincidir AB com EF, se C não estiver aqui, mas aqui, vamos precisar fazer mais uma transformação. Ou seja, vamos precisar fazer uma reflexão sobre ED, ou sobre A'B', como preferir, sobre este segmento laranja. Com isso, C vai coincidir com F, porque o segmento laranja é a bissetriz do segmento FC e, com isso, posso dividi-lo em dois segmentos menores e iguais. Por esse motivo, quando você fizer uma reflexão, C ou C' vão coincidir com F. Lembrando que uma reflexão é uma transformação rígida. Com isso, a forma e o tamanho serão mantidos. Espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!