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Problema de demonstração geométrica: segmentos congruentes

Transcrição de vídeo

RKA - Digamos que esse diagrama bem aqui, a gente sabe que o comprimento do segmento AB é igual ao comprimento de AC; então, AB, que é todo esse lado aqui (o comprimento de todo esse lado, como está desenhado), é igual ao comprimento de todo esse lado. É o lado todo de lá. E, então, também sabemos que o ângulo ABF é igual ao ângulo ACE; ou poderia ver que suas medidas são iguais, ou isso apenas sugere que são congruentes. Então, eles têm as mesmas medidas. Esse é igual ao ângulo ACE; então, esse ângulo bem aqui é congruente ao ângulo de lá; ou poderia dizer que eles têm a mesma medida. A primeira coisa que queremos tentar provar neste vídeo é que, se BF tem o mesmo comprimento de CE (BF tem o mesmo comprimento que CE), então, vamos tentar fazer aquilo... já sabemos algumas coisas que poderíamos fazer... isso em duas colunas, profissionalmente... deixe-me apenas eu fazer isso apenas... então, aquele... no caso de ter que fazer duas colunas de prova na sua classe, você pode ver como fazer isso mais formalmente. Então, vamos tentar nossas afirmações. Aqui, vou escrever minha justificativa para a minha afirmação. Deixe-me só reescrever esse tipo de prova formal de duas colunas. Então, sabemos que AB é igual a AC; então, essa é a afirmação 1 e isso está aqui. Sabemos que a afirmação 2 é que o ângulo ABF é igual ao ângulo ACE (mais uma vez, que foi dado). Agora, outra coisa interessante em cada um desses é que temos um ângulo e temos um lado. Cada um desses triângulos. E, então, o que pode ver é que os dois triângulos... e quando digo "os dois triângulos", estou falando sobre o triângulo ABF e o triângulo ACE, e os dois compartilham esse vértice no ponto A; e o ponto A é um vértice para os dois... a gente pode dizer que o ângulo BAF (digamos, vamos chamá-lo de BAF)... poderíamos dizer que o ângulo é igual ao ângulo CAE. Aquele deixa isso um pouco mais claro. Estamos lidando com dois triângulos diferentes bem aqui, mas eles têm realmente o mesmo ângulo; é igual a ele mesmo, bem aqui. Essa é nossa terceira afirmação; e poderíamos dizer que é óbvio. Algumas pessoas chamariam isso de "propriedade reflexiva". É óbvio que um ângulo é igual a ele mesmo. Então, poderíamos dizer: é óbvio. Ou poderíamos chamar isso de propriedade reflexiva, que diz que um ângulo é claramente reflexivo, obviamente igual a ele mesmo, ainda se identificássemos esse de forma diferente. Esse ângulo vai ter a mesma medida. E, agora, temos algo interessante acontecendo: temos um ângulo, um lado e um ângulo. Acabamos tendo que o triângulo então, por ângulo-lado-ângulo... temos um triângulo BAF... então, nossa afirmação número 4... (eu estou ficando sem espaço aqui; vou descer para cá)... a afirmação aqui é: o triângulo BAF... (deixe-me meio que destacar isso um pouco com azul)... BAF... então, é esse triângulo inteiro aqui... e metade da pegadinha de alguns desses problemas é ver o ângulo certo... começamos com esse ângulo branco e fomos pelo lado que a gente sabe, e, então, fomos para esse ângulo laranja aqui... BA... desculpe-me por ter começado nesse ângulo... então, trabalhamos nesse ângulo laranja pelo lado E, que sabemos que é congruente àquele lado bem aqui; fomos para o lado... o objetivo do vértice não está identificado; então, no triângulo BAF. Agora, sabemos que vai ser um congruente (congruente para o triângulo); começamos no ângulo branco. Vamos para o ângulo laranja e, então, vamos para o ângulo não identificado. Vai ser congruente para o ângulo... para o triângulo CAE. Esse é tipo uma versão complexa e desalinhada, mas você pode captar a ideia. Esses dois triângulos vão ser congruentes; é congruente para o triângulo CAE. Ângulo branco, laranja, e, então, o ângulo não identificado naquele triângulo ali. E isso vem direto do ângulo-lado-ângulo (isso vem direto do ALA). Esses são os dois ângulos, e, então, esse é o lado entre... (isso vem das afirmações 1, 2 e 3)... e, então, eles são congruentes. Sabemos que os lados correspondentes vão ser congruentes; então, sabemos nossa afirmação 5. Devíamos fazer isso de maneira um pouco mais organizada... nossa afirmação 5... agora, sabemos que BF é igual a CE. E isso vem direto da nossa afirmação 4, ou diríamos lados correspondentes, lados congruentes; lados correspondentes são congruentes. Agora, vamos avançar para outro nível. Vamos ver se pode provar. Vamos ver se você pode provar se ED é igual a EF. Então, vamos apenas continuar descendo e ver se podemos provar se ED é igual a EF. Coloquei uma interrogação ali porque não necessariamente provamos isso ainda. Então, vou provar que esse pequeno segmento na reta ED é igual a DF. Vamos ver se podemos provar isso. O interessante é que podemos, de primeira... bom, isso pode não ser tão óbvio... você sabe, como entendemos algum tipo de congruência sobre aquilo? Mas já temos algumas informações aqui. Sabemos que BAF é congruente a CAE; também sabemos que esse lado bem aqui... (deixe-me fazer isso com uma cor que ainda não usei... deixe-me ver... eu usei tanta cor, por isso estou ficando meio sem cores aqui)... bom, sabemos desses dois triângulos congruentes que o lado AE (que é parte de CAE)... sabemos que AE vai ser igual a AF. Aqueles dois lados são congruentes, e a justificativa é porque eles são lados correspondentes e triângulos congruentes. AF é o lado oposto ao ângulo branco no ângulo BAF do triângulo BAF; AE é o lado oposto ao ângulo branco no triângulo CAE, que sabemos, são congruentes. Sabemos que AE é igual a AF. E, mais uma vez, isso vem da afirmação 4. Podíamos ainda dizer lados correspondentes congruentes, mesma justificativa pela qual desistimos bem aqui. Agora, o que é interessante aqui é... você sabe... isso não é um triângulo que estamos vendo aqui... mas essa informação de que esses dois caracteres são congruentes nos ajuda com essa parte aqui, porque sabemos que BA... ou posso dizer... como sabemos que AB é igual a AC (que foi dado)... e, então, sabemos que EB... deixe-me escrever isso aqui e fazer isso um pouco mais confuso bem aqui... a afirmação 7 vai nos dar algum espaço. A gente sabe que BE vai ser igual a CF. Deixe-me escrever isso embaixo: sabemos que BE é igual a CF. E por que sabemos? Deixe-me colocar a justificativa bem aqui... deixe-me tentar limpar meu trabalho um pouco... essa coluna foi empurrada bem devagar para a esquerda. Mas como sabemos que BE é igual a CF? Bom, sabemos que o comprimento de BE é igual ao comprimento de "BA - AE"; ou eu poderia apenas dizer AB... poderia... como eu chamo aqui?... então, é igual a "AB - AE". É o mesmo, com base nessas últimas coisas que vimos. Como dizer "AC - AF", porque AB é igual a AC (então, é igual a AC). E, AE, já mostramos como a mesma coisa que AF. "AC - AF"... e "AC - AF" é o mesmo que CF bem aqui... que é igual a CF, bem aqui. E sabemos porque... sabemos isso da informação 1; sabemos isso da informação 5; e sabemos isso da afirmação 6. Na verdade, não precisávamos da afirmação 5 lá. Deixe-me ver... apenas precisamos da 1 e da 6. Então, vamos dizer que nós precisamos disso, da 1 e da 6. E é o que tivemos que fazer lá. A gente sabe que... olha esse lado... é igual àquele lado. Essa pequena parte é igual àquela parte. Se você subtrai a parte grande menos a parte pequena, isso bem aqui vai ser igual a isso. Então, é tudo o que estamos mostrando: esse lado em amarelo é igual a esse lado amarelo bem aqui. Agora, outra coisa que sabemos (e esse é direito dos ângulos opostos pelo vértice) é que esse ângulo EDB vai ser congruente ao ângulo FDC. Então, 8: sabemos que o ângulo EDB vai ser igual ao ângulo FDC, que vem direto dos ângulos opostos pelo vértice, que são congruentes (ou suas medidas são iguais). E, agora, de repente, temos uma coisa interessante de novo: temos o ângulo laranja, ângulo branco e lado; e, no outro triângulo, ângulo laranja, ângulo branco e lado também. Sabemos que esses dois triângulos menores são congruentes... (sabemos que eu não quero perder meu diagrama)... sabemos que aquele triângulo BED... logo, a afirmação número 9: sabemos que o triângulo BED é congruente... (BED é esse que sabemos)... que BED é congruente ao triângulo... agora, queremos usar os mesmos lados, ângulos brancos, lado amarelo, então, ângulo laranja, ângulo branco... tenho que ser cuidadoso aqui... ângulo branco... B é ângulo branco; "E" é o ângulo não identificado; D é o ângulo já identificado (o ângulo laranja). Então, você quer começar com o ângulo não identificado C. O ângulo laranja... então, o triângulo CFD. E isso vem direto, mais uma vez: lado do ângulo laranja, ângulo branco, então lado-ângulo-ângulo laranja... lado do ângulo laranja-ângulo branco. Então, esse vem direto da congruência ângulo-ângulo-lado. Agora que acabamos de mostrar que esse triângulo é igual àquele triângulo que, sabemos, seus lados correspondentes são iguais, então, essa é nossa parte final. Nós sabemos, desde que esses dois triângulos são congruentes, sabemos que ED é igual a DF porque são lados correspondentes. Poderia escrever aquilo bem aqui: ED é igual DF. E, mais uma vez, a justificativa aqui é a mesma aqui: corresponde aos lados congruentes. Então, conhecemos nossa afirmação 9: que significa que eles são congruentes... e lados correspondentes congruentes...e está feito! Então, esse foi um problema bem envolvente. Mas vê que, mais uma vez... siga o passo a passo; apenas tente identificar os elementos de cada triângulo e, por fim, você consegue. Mas, realmente, a parte difícil não é perceber quais os postulados usar, e sim como aplicá-los obrigatoriamente, mas vendo o triângulo, vendo que há alguma informação ali, vendo que poderia calcular BE ao subtraí-lo de AE ("AE - BE"), vendo que há dois triângulos, um tipo de sobreposição na estrela, ou braços, ou de qualquer coisa que queira chamá-lo.