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Problema de demonstração geométrica: ponto central

Transcrição de vídeo

RKA - Temos duas linhas paralelas: segmento de reta AB e o segmento de reta CD são paralelas. Devo dizer que eles são segmentos de retas paralelos, então temos estas transversais que se cruzam, tem esta transversal BC aqui e temos a transversal AD. O que este diagrama nos mostra é que a distância entre "A" e "E", este pequeno traço, significa que este segmento de reta tem a mesma medida que a distância entre "E" e "D". Outra forma de pensar nisso é que o ponto "E" é o ponto médio do segmento de reta AD. E neste vídeo eu quero pensar se o ponto "E" é também o ponto médio do segmento de reta BC. Então, temos esta questão bem aqui: o ponto "E" é ponto central de segmento de reta BC, reta BC. E você pode imaginar, com base em diversos vídeos que temos visto ultimamente, que talvez isso tem a ver com triângulos congruentes. Então, vamos ver se podemos estabelecer uma relação de congruência entre os dois triângulos óbvios neste diagrama. Temos este triângulo aqui na esquerda e temos este na direita. Este parece que está apontando para cima e este parece que está apontando para baixo. Tem muitas coisas que sabemos sobre ângulos opostos pelo vértice e ângulos formados por transversais que cortam paralelas. O mais óbvio é que temos estes opostos pelo vértice aqui. A gente sabe que o ângulo AEB vai ser congruente, ou sua medida vai ser igual à medida do ângulo CED. Então, sabemos que o ângulo AEB, AEB vai ser congruente, vai ser congruente ao ângulo DEC, o que realmente significa apenas que eles têm exatamente a mesma medida. E a gente sabe disso porque eles são ângulos opostos pelo vértice, são ângulos opostos pelo vértice. Agora, também sabemos que AB e CD são paralelos. Esta reta bem aqui, esta é transversal, então, sabemos, por exemplo, que na verdade tem diversas formas que podemos fazer este problema, mas sabemos que isto é transversal. E há algumas maneiras de pensar nisso, então deixe-me apenas continuar a transversal, por isso temos que ver todos os ângulos diferentes. Você poderia dizer que este ângulo bem aqui, o ângulo ABE, então, isto é sua medida e poderia dizer que isto é um ângulo alterno interno ao ângulo ECD para esse ângulo de lá. Se apenas não o fez, se aquilo não veio de você, diria que este ângulo correspondente a este bem aqui, é este ângulo aqui em cima. Se fosse continuar esta reta um pouco fora, este ângulo é correspondente e este, pois são opostos pelo vértice, mas, de qualquer forma, do ângulo ABE. Deixe eu ser cuidadoso, ângulo ABE vai ser congruente ao ângulo, é congruente ao ângulo DCE. E poderíamos dizer, porque seus alunos alternos internos, só escrever um código aqui, então ângulo alterno interno. E temos uma relação interessante, temos um ângulo congruente ao ângulo, outro ângulo congruente a um ângulo. E, então, o próximo lado é congruente ao próximo lado daqui, logo o lado verde e rosa, o lado verde e rosa. Portanto, podemos utilizar o "Ângulo, Ângulo, Lado". E este está na ordem da direita. Assim, agora sabemos que aquele triângulo, temos que ter certeza que a gente tem as letras certas aqui, que temos os vértices correspondentes certos. Podemos dizer que o triângulo AEB, na realidade, deixe-me começar com o ângulo, apenas para ficar mais interessante. Ângulo BEA, assim, começando com o ângulo na cor rosa indo para o ângulo verde indo para o que temos como não identificado, então podemos dizer que o triângulo BEA é congruente ao triângulo. Começamos com o rosa nos vértices "C" e vamos para o centro "E", então vamos para o não identificado "D". E sabemos disso por causa do AAL eles correspondem a cada lado rosa, a cada lado verde. E eles estão todos congruentes. Então, isso é de AAL e a gente sabe que eles são congruentes, que significa lados correspondentes que são congruentes. Aí, então, sabemos que este lado, a gente sabe que estes dois triângulos são congruentes, por isso significa que seus lados correspondentes são congruentes. A gente sabe que o comprimento de BE, sabemos que BE, o comprimento daquele segmento BE, será igual, e que o segmento entre os ângulos rosa e verde, o lado correspondente ao lado CE, entre o rosa e o ângulo verde é igual a CE. Isso apenas vem da afirmação anterior, se a gente numerar é 1, 2 e 3. Portanto, vem da afirmação 3. Então, provamos que "E" é o ponto médio de BC e isso vem direto pelo fato de que BE é igual a CE. Posso marcar isto com um traço. Este segmento de reta bem aqui é congruente ao segmento de reta ali, porque sabemos que aqueles dois triângulos são congruentes. E escrevi aqui mesmo duas colunas de prova e isso acaba no lado esquerdo, é minha afirmação, e no lado direito dei minha justificativa. E está pronto!