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Problema de demonstração geométrica: circunferência inscrita no quadrado

Transcrição de vídeo

RKA - Sabemos que o quadrilátero ABCD é um quadrado. Isso nos diz que os quatro lados têm o mesmo comprimento e que todos os ângulos internos têm 90 graus. Também sabemos que ‘FG’ é o segmento que liga os pontos médios de ‘AD’ e ‘BC’ respectivamente. Portanto ele é perpendicular à ‘AD’ e ‘BC’. Sabemos que é perpendicular e que este ângulo mede 90 graus. E o exercício diz que o arco ‘AC’. Esse arco ‘AC’ é parte da circunferência ‘B’. Essa circunferência está centrada em ‘B’, se isso é o centro da circunferência. É parte daquela circunferência, na verdade, é o quarto debaixo dessa circunferência. E com essa informação o exercício pede para determinar a medida do ângulo ‘BED’. Quanto mede ‘BED’? Precisamos determinar a medida deste ângulo. Eu peço que você pare o vídeo e tente sozinho. Agora eu vou te dar uma dica, se você tentou da primeira vez e não conseguiu... Ah! Depois dessa dica você tem que parar o vídeo de novo. Tente desenhar alguns triângulos que dividam este ângulo ‘DEB’ em dois ângulos diferentes. Pode ser que fique mais fácil, talvez possa usar algum conhecimento sobre triângulos. Dito isso, vou tentar resolver e você deve parar quando achar que sabe como resolver e deve tentar sozinho. O truque é entender que é uma circunferência. Então, qualquer segmento de reta que vai de ‘B’ à qualquer ponto neste arco será igual ao raio da circunferência. ‘AB’ é igual ao raio da circunferência. ‘BE’ é igual ao raio da circunferência. Dá para continuar desenhando outras coisas que são iguais ao raio da circunferência. ‘BC’ é igual ao raio da circunferência, então vamos pensar um pouco. Se for desenhar e muitos problemas de geometria, mais difíceis, dependem do desenho correto de segmentos de retas ou da visualização de alguns triângulos. Vou fazer um aqui que pode explicar muita coisa com relação a como resolver isso. Vou desenhar o segmento ‘EC’. Vou desenhar o mais reto possível, eu consigo desenhar melhor do que isso. Segmento ‘EC’. Agora é interessante! Qual é a relação entre o triângulo ‘EBG’ e o triângulo ‘ECG’? Os dois, definitivamente, compartilham este lado. Os dois compartilham o lado ‘EG’. E BG = GC e os dois têm ângulos de 90 graus. Tem um ângulo de 90 graus aqui e um ângulo de 90 graus ali que satisfaz o critério de congruência 'lado, ângulo, lado'. E, portanto, esses dois triângulos serão congruentes. Sabemos que o triângulo ‘EBG’ é congruente com o triângulo ‘ECG’. ‘ECG’, eu devo enfatizar o ‘C’, não o ‘E’. Pelo critério de congruência 'lado, ângulo, lado'. E isso também diz que todos os ângulos correspondentes e todos os lados serão iguais. Então, diz que ‘EC’ é igual à ‘EB’ EC = EB. Sabemos que EB = EC. Então, o que mais é igual a esse comprimento? De novo, este é o raio da circunferência. ‘BE’ é um raio da circunferência e ‘BC’ também é o raio da circunferência, então também é igual à ‘BC’. Eu poderia desenhar as três coisas aqui. Que tipo de triângulo é esse aqui? Triângulo ‘BEC’. O triângulo ‘BEC’ é equilátero e sabemos disso porque os três lados são iguais. Certo? Então diz que todos os seus ângulos internos são iguais. Todos os seus ângulos internos são iguais. A medida do ângulo ‘BEC’, não terminamos ainda, mas estamos quase lá, é 60 graus. Então, a medida do ângulo ‘BEC’, aqui é 60 graus. E isso resolve parte do problema. ‘BEC’ é parte do ângulo ‘BED’. Se conseguir determinar a medida do ângulo ‘CED’, podemos determinar este ângulo aqui. Somamos isso aos 60 graus e pronto, determinaremos ‘BED’. Vamos pensar como podemos fazer isso. Já sabemos de algumas coisas interessantes, sabemos que isto aqui é igual ao raio da circunferência e também que este comprimento é um quadrado. Sabemos que esse comprimento, aqui embaixo, é igual a este comprimento, aqui em cima, e que eles têm exatamente o mesmo comprimento. E isso é igual ao raio da circunferência. Já colocamos essas três barras aqui. ‘BC’ é igual a esse comprimento, é igual a esse comprimento. Até agora os quatro lados terão o mesmo comprimento porque isto é um quadrado. Então vou escrever assim: como ele é um quadrado, sabemos que CD é igual à ‘BC’ que é igual à, já determinamos que é igual à ‘EC’ que é igual à ‘EB’, que é igual à ‘EC’. Mas o que é importante é entender que isto e isto têm o mesmo comprimento. E o motivo é que isso é um triângulo isósceles, então em um triângulo isósceles os dois ângulos da base serão congruentes. Qualquer que seja a medida desse ângulo verde, este ângulo verde de cima será igual. Se puder determinar este ângulo, dá para subtrair isso de 180 e depois dividir por dois para determinar cada um desses dois porque sabemos que são iguais. Então como podemos determinar esse ângulo? Conhecemos todos os ângulos disso, podemos determinar os ângulos desse maior aqui em cima. Sabemos que é um triângulo equilátero, então tem que ter 60 graus também. Tem 60 graus e isso também tem 60 graus. Se isso tem 60 graus, sabemos que estamos lidando com um quadrado, então todo este ângulo é um ângulo reto. Qual é a medida do ângulo ‘ECD’? Qual é a medida do ângulo ‘ECD’? Quanto é a medida deste ângulo? Eu vou fazer em uma outra cor. Ele terá 30 graus. Agora estamos prontos para calcular esses dois ângulos da base. Se chamar de “x” e sabemos que eles têm que ser iguais. Tem ‘x + x + 30’ graus, ‘x + x + 30’ graus será igual à 180 graus. Essa é a soma de todos os ângulos internos de um triângulo, então tem ‘2x + 30 = 180’ graus Agora pode subtrair 30 dos dois lados e tem que 2x é igual à 150. Dividimos os dois lados por dois e temos que ‘x = 75’. Determinamos que ‘x = 75’. Estamos quase no final, precisamos determinar o ângulo ‘BED’. “x” é igual à medida do ângulo ‘CED’, ‘BED’ é ‘CED’ mais ‘BEC’. Então os 60 graus mais 75 graus. E vai ser... Olha os aplausos! Vai ser igual à 75 graus mais 60 graus que é igual à 135 graus. Terminamos!