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Postulados/critérios de congruência de triângulos

Transcrição de vídeo

RKA - Sabemos que se temos dois triângulos e todos os seus lados correspondentes são os mesmos, então, pelo caso de congruência de triângulos "lado, lado, lado" os lados correspondentes (todos os três dos lados correspondentes) têm o mesmo comprimento. Sabemos que aqueles são triângulos congruentes. O que eu quero fazer neste vídeo é explorar se há outras propriedades que podemos encontrar entre os triângulos, que possam nos ajudar a sentir que aqueles dois triângulos seriam congruentes. Então, "lado, lado, lado" funciona. E "ângulo, ângulo, ângulo"? Deixe-me fazer aquilo. O que acha de "ângulo, ângulo, ângulo"? O que eu estou dizendo é: digamos que eu tenha um triângulo assim e um assim. Se sabemos que esse ângulo é congruente àquele ângulo, o que significa que suas medidas são iguais, ou/e, que ângulo é congruente àquele ângulo? A gente pode dizer que esses são dois triângulos congruentes? No primeiro caso, isso parece que talvez seja, pelo menos a forma como eu desenhei aqui. Mas quando você pensa nisso, pode ter os mesmos ângulos correspondentes tendo a mesma medida ou sendo congruentes. Mas pode, na verdade, escalar, ampliar ou reduzir um desses triângulos para cima e para baixo e ainda terá aquela propriedade. Por exemplo, se eu tinha esse triângulo aqui, ele parece semelhante e estou usando isso apenas no sentido cotidiano, já que isso tem a mesma forma desses triângulos. Tenho os mesmos ângulos, aquele ângulo é congruente àquele ângulo, esse ângulo é congruente a esse ângulo e esse ângulo é congruente a esse ângulo. Todos os ângulos correspondentes em todos esses três triângulos são os mesmos. Os ângulos correspondentes têm a mesma medida. Mas, claramente, esse triângulo aqui não é o mesmo, não é congruente para os outros dois. Os lados têm um comprimento muito diferente, esse lado é muito mais curto do que esse lado aqui, esse lado é muito mais curto do que o outro ali, e esse lado é muito mais curto. Com apenas "ângulo, ângulo, ângulo", você não pode dizer que um triângulo tem o mesmo tamanho e formato, ou seja, não pode afirmar que os triângulos são congruentes. Isso tem o mesmo formato, mas não o mesmo tamanho. Isso não sugere congruência, então "ângulo, ângulo, ângulo" não sugere congruência. O que sugere, e não falamos sobre isso ainda, é que aqueles são triângulo semelhantes. "Angulo, ângulo" sugere semelhança entre os triângulos. Deixe eu escrever isso aqui. Isso sugere triângulo semelhantes. E "semelhante": provavelmente você está acostumado à palavra na linguagem do dia a dia, mas semelhante tem um significado muito específico na geometria. Coisas semelhantes têm o mesmo formato, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Quaisquer duas coisas que sejam congruentes, porque isso é o mesmo tamanho, a mesma forma e é também semelhante, mas nem tudo que é semelhante também é congruente. Por exemplo, esse triângulo é semelhante a esses outros. Todos esses triângulos são semelhantes entre si, mas não são todos congruentes. Esses dois são congruentes e seus lados correspondentes são os que têm a mesma medida. Eu não fiz essa suposição, mas se a gente sabe que seus lados são o mesmo, podemos dizer que são congruentes. Mas nem esses são triângulos para esse aqui, porque é claramente muito maior, ele tem o mesmo formato, mas tem um tamanho diferente. Não podemos ter "AAA" postulado ou um axioma "AAA" para chegar à congruência. Sobre "lado, ângulo, lado", LAL. Vamos tentar! A gente começa com um triângulo aqui, vamos começar com um triângulo que seja assim. Tenho o meu lado azul, meu lado rosa e meu lado lilás. Digamos que eu tenha outro triângulo que tem esse lado azul. Esse tem o mesmo lado, o mesmo comprimento como aquele lado azul, então deixe eu desenhar assim. Isso tem o mesmo comprimento como aquele lado azul. Aquele comprimento e aquele comprimento vão dar no mesmo. Isso tem um ângulo congruente logo após aquele. Esse e o próximo ângulo, para esse triângulo, vão ter a mesma medida ou vão ser congruentes. O próximo lado vai ter o mesmo comprimento, como esse aqui. Aquele vai ter o mesmo comprimento que esse aqui, isso vai ter o mesmo comprimento. A gente não sabe. E porque só sabemos que dois dos lados correspondentes têm o mesmo comprimento, então, o ângulo entre eles, e isso é importante, o ângulo entre os dois lados correspondentes também tem a mesma medida. A gente pode fazer qualquer coisa que quiser com esse último lado aqui. Basicamente podemos... Vai ter que começar aqui, podemos começar desse ponto e podemos girá-lo para formar o triângulo que a gente quiser. Mas pode ver, a única forma como podemos formar um triângulo é se trouxermos o lado de todos os jeitos e fecharmos isso aqui. Então, só podemos ver, logicamente, que, se temos para dois triângulos, eles têm um lado que tem o mesmo comprimento. O próximo lado tem o mesmo comprimento e o ângulo entre eles, esse ângulo... Deixe-me fazer na mesma cor. Esse ângulo entre eles, esse é o ângulo, esse "A" é esse ângulo e aquele ângulo é o ângulo entre eles. Esse primeiro lado é azul e esse segundo lado aqui em rosa... Eu sei que já está escrito em rosa. A gente pode ver que, se dois lados têm o mesmo comprimento, dois lados correspondentes têm o mesmo comprimento, e o ângulo correspondente entre eles, eles têm que ser congruentes, não há outro lugar para colocar esse terceiro lado. "LAL", algumas vezes, é chamado de postulado, ou axioma, ou, se está comprovado que algumas vezes é chamado de teorema, isso sugere que os dois triângulos são congruentes. Isso está na nossa caixa de ferramentas. Tivemos o postulado "lado, lado, lado", agora temos o postulado "lado, ângulo, lado". Dois lados são iguais e o ângulo entre eles para dois triângulos de lados e ângulos correspondentes. A gente pode dizer que isso é, definitivamente, que esses são triângulos congruentes. Vou tentar passar por todas as diferentes combinações. Se eu tenho... O que eu tenho no "ângulo, lado, ângulo" "ALA"? Vou tentar isso. O que acontece se eu tenho "ângulo, lado, ângulo"? Vamos voltar a esse aqui. Na verdade, vou redesenhar um novo para cada um desses casos. "Ângulo, lado, ângulo", então, vou desenhar um triângulo aqui e eu tenho esse triângulo, então, esse seria talvez o lado. Aqui que seria o lado. Deixe eu desenhar todo o triângulo primeiro. Vou desenhar um lado aqui, vou desenhar um lado aqui, e esse ângulo, eu vou chamá-lo... aqui, em laranja e esse aqui, eu vou fazer em amarelo. Se tenho outro triângulo que tem um lado tendo medidas iguais, vou usá-lo como esse lado azul aqui, ele tem um lado que tem medida igual e os dois ângulos também no lado daquele lado. Ou, ainda, no final daquele lado são os mesmos. Esse triângulo necessariamente será congruente? Apenas vamos tentar chegar a uma conclusão. Essas não são provas formais. Realmente, estamos somente tentando configurar o que são postulados razoáveis ou o que são suposições razoáveis que podemos ter em nossa caixa de ferramentas para provar outras coisas. Aquele ângulo... Aquele ângulo vai ter a mesma medida nesse triângulo. Esse ângulo em amarelo vai ter a mesma medida nesse triângulo. Enfim, não estou de forma alguma restringindo os lados, esse lado poderia ter qualquer comprimento. Isso poderia ter qualquer comprimento, mas ele tem que formar esse ângulo com isso. Isso poderia ter qualquer comprimento e só pode ir até onde isso quer ir. E de nenhum modo que tenham limitado o que o comprimento disso é na verdade. Deixe eu marcar isso também. Então, isso é o mesmo que isso, aquele lado pode ser qualquer coisa, não restringimos. Mais uma vez, esse lado poderia ser qualquer coisa, não restringimos. A gente sabe que isso tem que ir para esse ângulo, isso tem que ir para aquele ângulo. Mais uma vez, há só um triângulo que pode ser formado dessa maneira. Digamos que a qualquer hora esse comprimento pode ser tão longo ou tão curto o quanto quisermos. Esse pode ser tão longo ou tão curto quanto quisermos, mas o único jeito que eles podem, na verdade, tocar cada um e formar um triângulo que tenha esses dois ângulos, é se eles tiverem exatamente o mesmo comprimento que esses, como esses dois lados aqui. Esses dois, esse lado, na verdade, terá que ser o mesmo que aquele lado, isso terá que ser o mesmo que aquele lado. Mais uma vez, isso não é uma prova, eu chamaria de um raciocínio, através disso ou investigação. Mesmo só para estabelecer o que são linhas de base, axiomas, suposições ou postulados. Para os meus objetivos, acho que "ângulo, lado, ângulo" nos mostra que dois triângulos são congruentes. Vamos tentar outro. Vamos tentar um "lado, ângulo, ângulo". Você sabe de alguma aula de geometria e talvez deva passar por um exame rápido para que possa memorizar. "Lado, lado, lado" sugere congruência, esse é o tipo de lógica. E "Lado, ângulo, lado" sugere incongruência, e assim por diante. Eu não sou fã de memorizar isso, poderia ser bom por causa da pressão do tempo, é bom para algumas vezes, ainda que só passe por essa lógica. Se você é igual, "ângulo, ângulo, ângulo" funciona? Não. E posso encontrar esse caso que acaba com "ângulo, ângulo, ângulo", isso vai funcionar? Apenas tentem verificar por vocês mesmos. Faz sentido lógico, por que eles iriam sugerir congruência? Vamos tentar "lado, ângulo, ângulo", vamos tentar "lado, ângulo, ângulo". Mais uma vez, digamos, vamos ter um triângulo aqui, ele tem algum lado. Então, esse vai ser um pouco mais interessante, ele tem algum lado, esse é o lado, aqui. Depois isso tem dois ângulos, deixe eu desenhar os outros lados desse triângulo. Vou desenhar em lilás e em verde. Ele tem... Há dois ângulos e um lado. Vamos ver... Você tem esse ângulo, tem esse ângulo aqui. Na verdade, eu não tive que colocar o dobro, visto que é o primeiro ângulo que eu estou... Aquele ângulo, que vai se referir àquele primeiro A, temos esse ângulo, que é aquele segundo A. Se eu soubesse que tem outro, que há outro triângulo que tem um lado, tendo o mesmo comprimento, deixe eu desenhar aqui. Isso tem um lado tendo o mesmo comprimento, isso tem um ângulo naquele lado que tem a mesma medida. Ele tem a medida assim, esse lado aqui poderia ser de qualquer comprimento. Esse lado pode ser de qualquer comprimento, não estamos restringindo o que o comprimento daquele lado é. Mas o que quer que o ângulo seja no outro lado, ele vai ser o mesmo que esse ângulo verde aqui. Por exemplo: isso poderia ser assim e poderíamos ter o lado verde indo assim. Isso poderia ser assim e ter o lado verde ir assim. Se a gente tem... Então, a única coisa que estamos supondo é que essa é a mesma medida e que esse ângulo tem a mesma medida que aquele ângulo. Esse lado, a linha lilás, pode ser de qualquer comprimento e esse lado, a linha verde, pode ser de qualquer comprimento. De nenhuma forma restringimos isso. Mas como podemos formar qualquer triângulo que não seja congruente a esse? Porque o ponto principal é... Esse lado, da linha verde, vai ter que tocar esse aqui, e a única forma disso acontecer é se começar aqui. Começar aqui. Porque estamos restringindo esse ângulo, a gente está restringindo aquele ângulo. Então, isso parece "lado, ângulo, ângulo", faz que, de fato, sugere congruência. Aquele, realmente, sugere congruência. Vamos só fazer mais um, só para tentarmos todas as diferentes situações. Se a gente tem... Eu estou perdendo espaço aqui na parte inferior. O que seria se tentasse "lado, lado, ângulo"? Mais uma vez, desenhe um triângulo. Esse tem um lado, tem outro lado ali. Eu não vou fazer aqueles riscos ainda. Um lado, então, outro lado e então, outro lado. O que acontece se sabemos que há outro triângulo que tem dois dos mesmos lados e o ângulo depois disso? Por exemplo, isso teria aquele lado, dessa forma, e isso tem outro lado. Mas não estamos restringindo o ângulo, não estamos restringindo esse ângulo aqui, estamos restringindo o comprimento daquele lado. Deixe eu colorir isso. Aquele lado azul é aquele primeiro lado, então, temos esse lado lilás. Isso vai ter o mesmo comprimento que isso, mas vou fazer isso em ângulo diferente para ver se eu posso refutar isso. Digamos que seja assim. Na verdade, vou tornar isso ainda mais interessante. Deixe eu tentar fazer isso assim. Vou tentar fazer assim. Esse é um ângulo muito diferente, mas agora isso tem que ter o mesmo ângulo aqui. Isso tem que ter a mesma medida daquele mesmo ângulo. Daí, tem que ser aproximadamente aquele ângulo. Na verdade, parece que a gente pode desenhar um triângulo que não é congruente e que tem o mesmo... Dois lados sendo do mesmo comprimento e um ângulo que seja diferente. Por exemplo, isso é quase aquilo. Eu fiz esse ângulo menor do que esse. Esses dois lados têm a mesma medida e são os mesmos. Esse ângulo é o mesmo agora, subproduto daquilo que esse lado verde vai ser menor neste triângulo aqui. Você não necessariamente tem triângulos congruentes com "lado, lado, ângulo". Eles não são necessariamente congruentes, ou similares, semelhantes. Isso não nos dá congruência, nem similaridade, semelhança de triângulos.