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Como usar o teorema da bissetriz

Neste vídeo, usamos o o teorema da bissetriz para calcular os lados de um triângulo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Pensei em fazer alguns exemplos usando o Teorema da Bissetriz Interna. Nesse primeiro triângulo, sabemos que esse lado tem um comprimento 3, esse lado tem o comprimento 6, e essa pequena linha pontilhada aqui é, claramente, a bissetriz do ângulo, porque está claro que esse ângulo é congruente ao outro ângulo dali. Então, nos informam que o comprimento dessa parte, desse lado bem aqui é igual a 2, daqui até aqui é 2 e que esse comprimento é "x", vamos calcular quanto é "x". Do Teorema da Bissetriz Interna, temos que a razão de 3 para 2 será igual a 6 para "x". Podemos calcular o "x". Então, 3 para 2 terá que ser igual a 6 para "x". De novo, você pode multiplicar cruzado ou multiplicar os dois lados por 2 e "x". Isso dá o mesmo resultado, se multiplicar cruzado, você tem 3x é igual a 2 vezes 6 que é 12. "x" é igual a, divida os dois lados por 3, "x" é igual a 4. Nesse caso, "x" é igual a 4. Isso é bem interessante porque acabamos de perceber que esse lado inteiro será igual a 6, mesmo que não pareça e, não parece mesmo, do jeito que foi desenhado. Mas isso, de fato, é um triângulo isósceles, os lados têm 6 e 6 e esta base aqui é 3. Muito interessante! Ali, nos informam que aquele comprimento é 5, esse comprimento é 7, esse lado inteiro é 10 e temos que o ângulo é dividido pela bissetriz bem aí. Temos que calcular essa parte do triângulo, entre esse ponto que chamamos de "A" e o ponto aqui, que temos que achar o comprimento do segmento "AB" aqui. De novo, o Teorema da Bissetriz Interna, a proporção de 5 para isto, vou usar uma cor nova. A proporção de 5 para "x", será igual à proporção de 7 para essa distância, bem aqui. Qual é essa distância? Se o total é 10 e isso é "x", então, essa distância aqui, terá que ser (10 - x). Então, a proporção de 5 para "x" é igual a 7 sobre (10 - x). Podemos multiplicar cruzado, multiplicando 5 por (10 - x) é 50 menos 5x, então "x" vezes 7 é igual a 7x, acrescente 5x aos dois lados da equação e terá que 50 é igual a 12x. Podemos dividir os dois lados por 12 e teremos que 50 sobre 12 é igual a "x". Dá para reduzir isso, vamos ver se dividir o numerador e o denominador por 2, você chega a, isso é a mesma coisa que 25 sobre 6, que é a mesma coisa, se quiser escrever isso como número misto, como 4, 24 sobre 4 é 4 e, então, tem como resto 1⁄6. Então, 4 1⁄6 é o valor desse cumprimento bem aqui. Ah! Desculpe, esse comprimento bem aqui. "x" é 4 1⁄6 e, então, esse comprimento será 10 menos 4 1⁄6, quanto dá isso? 5 5⁄6.