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Transcrição de vídeo

RKA - Neste vídeo, quero primeiro mostrar a você o que é o teorema da bissetriz interna e, daí, a gente vai de fato demonstrar isso matematicamente. Tenho um triângulo qualquer aqui, o triângulo ABC. E o que eu vou fazer é desenhar uma bissetriz de ângulo para este ângulo em cima, para a gente fazer isso com qualquer um dos três ângulos. Mas vou fazer este, que vai se tornar a nossa demonstração. Assim fica um pouco mais fácil, então vou dividir esse ângulo em dois. Ângulo ABC. Digamos que essa é a bissetriz do ângulo ABC. Este ângulo aqui é igual a este outro ângulo aqui. Vou chamar esse ponto, vou chamá-lo de ponto de D. O teorema da bissetriz interna afirma que a razão entre os lados que não são esta bissetriz... Quando eu coloquei a bissetriz neste ângulo, ela criou dois triângulos menores daquele maior ali. O teorema da bissetriz interna nos diz que a razão entre os outros lados desses dois triângulos, que foram criados agora, será a mesma entre eles. Isso significa que à razão entre AB e AD será igual a razão entre BC e, pode-se dizer, CD. Vou usar outras cores. A razão entre aquilo, que é isto, a isso, será igual à razão disto, que é aquilo, para isso aqui. Para ACD, que é aquilo lá. Uma vez que você perceba que a razão daquilo para aquilo será a mesma que a razão daquilo para aquilo, a gente tem um resultado bem legal, mas não deve aceitar isso só pela fé, só porque o resultado é legal. Queremos provar isso matematicamente, então pode imaginar que aqui temos alguma relação montada. Vamos provar isso usando a semelhança de triângulos e, para nosso azar, esses dois triângulos não são necessariamente semelhantes. De fato, não podemos... Sabemos que esses dois ângulos são congruentes entre si, mas não sabemos se esse ângulo é igual àquele ângulo ou que não sabemos. A gente não pode fazer nenhuma afirmação como esta. Então, para poder de fato fazer uma afirmação desse tipo, vamos talvez ter que montar um outro triângulo, que será semelhante a um desses aqui. E um jeito de fazer isso seria desenhar uma outra reta. Isso é um pouco dessa demonstração que não foi óbvia para mim na primeira vez em que pensei nela. Então, não se preocupe se não for óbvio para você. E se a gente puder, vamos continuar com essa bissetriz, essa bissetriz interna aqui. Vamos continuar seguindo mais e mais e mais. Também vamos desenhar um triângulo semelhante a esse triângulo aqui. Se desenharmos uma reta paralela a AB, daí a gente tenta fazer isso. Vou dizer: se C não está em AB, você pode sempre achar um ponto que passa, ou uma reta que passa, por C, que é paralela a AB. Agora, vamos por definição, vamos apenas criar uma outra reta aqui. Digamos que vamos chamar este ponto de F. Vamos escolher essa reta de tal forma que FC seja paralela a AB. Isto é paralelo àquilo, de forma que FC seja paralela a AB. A gente pode montar isso dessa forma. Agora temos algumas coisas interessantes. Fizemos tudo isso dessa forma para fazer esses dois triângulos semelhantes um ao outro. Vamos ver o que acontece. Antes de falar das semelhanças, a gente vai falar sobre alguns dos ângulos ou o que sabemos sobre alguns desses ângulos aqui. Sabemos que temos ângulos alternos internos, então veja essas duas retas paralelas. Eu posso imaginar que AB continua assim, FC também continua assim, a reta BD aqui é transversal. Então, seja qual for a medida desse ângulo, esse ângulo será igual também, por serem ângulos alternos internos. Coisas sobre as quais falamos bastante quando começamos a falar de ângulos, transversais e tudo mais. Esses dois ângulos terão que ser iguais, mas esse ângulo e esse ângulo também terão que ser iguais, porque esse ângulo e aquele ângulo são os mesmos. E isso é uma bissetriz. Por ser uma bissetriz, a gente sabe que o ângulo ABD é igual ao ângulo DBC. Então, quanto vale esse ângulo? Aquele ângulo tanto vai valer esse ângulo. Isso nos dá uma espécie de resultado interessante, porque aqui nós temos uma situação, temos uma situação onde, se olharmos esse triângulo maior, BFC, a gente tem dois ângulos da base que são iguais, o que significa que isso tem que ser um triângulo isósceles. BC tem que ser igual a FC, então BC tem que ser igual a FC. Isso foi bem legal! A gente usa a transversal e os ângulos alternos internos para demonstrar que eles são isósceles e que BC e FC são a mesma coisa. Isso poderia ser útil, porque nós sabemos que queremos... A gente tem a sensação de que esse triângulo e esse triângulo terão que ser semelhantes. Ainda não provamos isso. Mas como isso vai nos ajudar a descobrir algo sobre o segmento BC? Nós acabamos de mostrar que BC e FC são a mesma coisa. Isso será a mesma coisa que aquilo que queremos provar. Se conseguirmos provar que FC, a razão entre AB e AD é a mesma coisa que a razão entre FC e CD, nós chegamos lá, porque BC, acabamos de demonstrar, é igual a FC. Mas não vamos começar com o teorema, vamos de fato chegar ao teorema. FC é paralela a AB. Somos capazes de montar este aqui, um triângulo isósceles, e mostrar que esses lados são congruentes. Agora vamos olhar esses outros triângulos aqui, depois vamos nos sentir bem sobre isso. Mas a gente tem isso. Se olharmos o triângulo ABD, esse triângulo aqui, e o triângulo FDC, já estabelecemos que eles têm um conjunto de ângulos que são iguais. Também os dois, ABD, têm esse ângulo aqui, o qual será que é um ângulo oposto pelo vértice a esse aqui. E esses aqui são congruentes. A gente sabe que se dois triângulos têm dois ângulos que são iguais, então o terceiro dos dois também terá que ser igual. Ou poderíamos dizer, pelo postulado da semelhança "ângulo, ângulo", que esses dois triângulos são semelhantes. Deixa eu escrever isso aqui. Você quer ter certeza de achar os lados correspondente certos. Agora sabemos pelo "ângulo, ângulo". Vou começar pelo ângulo verde. O triângulo B. E o ângulo azul BDA é semelhante ao triângulo. Vamos novamente começar pelo ângulo verde F e, aí, vamos ao ângulo azul FDC. Aqui queremos, eventualmente, chegar ao teorema da bissetriz interna. Vamos querer ver a razão entre AB e AD. AB e AD, triângulos semelhantes, ou você poderia achar que a razão entre os lados correspondentes terá que ser igual em triângulos semelhantes. Ou poderíamos achar a razão entre dois lados de triângulos semelhantes. Compará-los à razão de dois lados correspondentes no outro triângulo semelhante, e eles devem ser iguais. Por semelhança de triângulos, sabemos que a razão de AB... A propósito, foi pelo caso de semelhança "ângulo, ângulo". Eu quero escrever isso aqui. Agora que nós sabemos que eles são semelhantes, a gente sabe que a razão de AB e AD, será igual a... e podemos ver isso aqui para os lados correspondentes, a razão de AB ao lado correspondente será CF. Será igual à CF sobre AD. AD é a mesma coisa que CD. Assim, nós sabemos que a razão de AB sobre AD = CF sobre CD. Mas acabamos de provar para nós mesmos, porque isso é um triângulo isósceles, que CF é a mesma coisa que BC. Então, CF é a mesma coisa que BC. Terminamos! Acabamos de provar que AB sobre AD é igual a BC sobre CD. Tem duas coisas que precisamos fazer aqui. Montar esse outro triângulo que nos permitiu, supondo que isso era paralelo, e nos deu duas coisas. Isso nos deu um outro ângulo para mostrar que eles são semelhantes e também nos permitiu estabelecer... A gente é capaz de usar, montando esse triângulo aqui, a gente pode mostrar a semelhança e montar esse triângulo isósceles maior para mostrar. Veja, se nós podemos achar a razão entre os dois lados desse triângulo e esse aqui, aquilo vai ser a razão disso. Se pudermos achar a razão desse lado para esse lado, é a mesma que a razão desse lado para esse lado. Isto é análogo para mostrar que a razão desse lado para esse lado é a mesma coisa que BC para CD. E terminamos!