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Transcrição de vídeo

neste vídeo quero primeiro mostrar a você o que é o teorema da bissectriz interna e daí a gente vai de fato demonstrar isso matematicamente tem um triângulo qualquer bem aqui triângulo abc o que eu vou fazer é desenhar uma bissectriz de ângulo para este ângulo em cima pra gente fazer isso com qualquer um dos três ângulos mas vou fazer esse que vai se tornar a nossa demonstração assim fica um pouco mais fácil então vou dividir esse ângulo em 21 golo abc e digamos que essa é a bissectriz do ângulo abc este ângulo aqui é igual a esse outro ângulo aqui vou chamar esse ponto aqui no chamado de ponto de o teorema da bissectriz interna o teor e mandar bissectriz interna afirma que a razão entre os lados que não são estas bissectriz quando coloquei essa bissectriz nesse ângulo ela criou dois triângulos menores daquele maior ali o teorema a bissectriz interna nos diz que a razão entre os outros lados desses dois triângulos que foram criados agora será mesmo entre eles isso significa que a razão entre a abih a razão entre a abih a de ead será igual a razão entre bc a razão entre bc e pode dizer cd e cd então a razão vou usar outras cores a razão entre aquilo que é isto a isso a isso será igual a razão disto que é aquilo pra isso aqui para aceder que é aquilo lá é meio uma vez que perceba que a razão daquilo pra quem não será a mesma que a razão daquilo por aquilo a gente tem um resultado bem legal mas não deve aceitar isso só pela fé só porque o resultado é legal queremos provar isso matematicamente então pode imaginar que aqui temos alguma relação montada vamos provar isso usando à semelhança de triângulos e para nosso azar esses dois triângulos aqui não são necessariamente semelhantes de fato não podemos sabemos que esses dois ângulos são congruentes entre si mas não sabemos se esse ângulo é igual aquele ângulo ou que não sabemos a gente não pode fazer nenhuma afirmação como esta então para poder de fato fazer uma afirmação desse tipo vamos talvez ter que montar um outro triângulo que será semelhante a um desses aqui e um jeito de fazer isso seria desenhar uma outra reta isso é um pouco dessa demonstração que não foi óbvia pra mim na primeira vez em que pensei nela então não se preocupe se não for óbvio pra você e se a gente puder vamos continuar com essa bissectriz essa diretriz interna aqui vamos continuar seguindo mais e mais e mais também talvez vamos desenhar um triângulo semelhante a esse triângulo aqui se desenharmos uma reta paralela a abeac daí a gente tenta fazer isso apenas vou dizer bom você sabe que pode sempre achar se senão está em abril você pode sempre achar um ponto que passa uma reta que passa por ser que é paralela ab agora vamos por definição vamos apenas criar uma outra reta aqui digamos que vamos chamar esse ponto aqui df vamos escolher essa reta de tal forma que fc seja paralela à ab isto é paralelo aquilo de forma que fc seja paralela à ab a gente pode montar isso dessa forma agora temos algumas coisas interessantes fizemos tudo isso dessa forma para fazer esses dois triângulos semelhantes um ao outro vamos ver o que acontece antes até de falar das semelhanças a gente vai falar sobre alguns dos ângulos o que sabemos sobre alguns desses ângulos aqui sabemos que temos ângulos alterna os internos então veja essas duas retas paralelas possa imaginar que a b continua assim fc também continua assim a reta bd aqui é transversal então seja qual for a medida desse ângulo esse ângulo será igual também por ser em ângulos alterna os internos coisas sobre as quais falamos bastante quando começamos a falar de ângulos e transversais e tudo mais esses dois ângulos terão que ser iguais mas esse ângulo esse ângulo também terão que ser iguais porque esse ângulo é aquele ângulo são os mesmos e isso é uma biz e 13 por ser uma diretriz a gente sabe que o ângulo a bd é igual ao ângulo de bc então quanto valer esse ângulo aquele ângulo tanto vai valer esse ângulo isso nos dá uma espécie de resultado interessante porque aqui nós temos uma situação temos uma situação onde se olharmos esse triângulo maior bfc a gente tem dois ângulos da base que são iguais o que significa que isso tem que ser um triângulo isósceles bc tem que ser igual à f c então o bc tem que ser igual à f c isso foi bem legal a gente usa transversal e os ângulos alterna os internos para demonstrar que eles só se eles e qb cfc são a mesma coisa isso poderia ser útil porque nós sabemos que queremos a gente tem a sensação de que esse triângulo esse triângulo terão que ser semelhantes ainda não provamos isso mas como isso vai nos ajudar a descobrir algo sobre o segmento bc mas acabamos de mostrar que bc fc são a mesma coisa isso será a mesma coisa que aquilo que queremos provar se conseguirmos provar que fc a razão entre a b ea de é a mesma coisa que a razão entre fc ec de então nós chegamos lá porque bc acabamos de demonstrar é igual à fc mas não vamos começar com o teorema vamos de fato chegar ao teorema então fc é paralela à ab somos capazes de montar esse aqui um triângulo isósceles mostrar que esses lados são congruentes agora vamos olhar esses outros triângulos aqui depois vamos nos sentir bem sobre isso mas a gente tem isso se olharmos o triângulo a bebê esse triângulo aqui eo triângulo fdc já estabelecemos que eles têm um conjunto de ângulos que são iguais também os dois a bd tem esse ângulo aqui o qual será que é um ângulo oposto pelo verso é esse aqui nesse aqui são congruentes a gente sabe que se dois triângulos tem dois ângulos que são iguais então o terceiro dos dois também terá que ser igual ou poderemos dizer que pelo postulado da semelhança ângulo ângulo esses dois triângulos são semelhantes deixa eu escrever isso aqui você quer ter certeza de achar os lados correspondente certos agora sabemos pelo ângulo ângulo e vou começar pelo mundo verde o triângulo b e aí o ângulo azul-bebê a é semelhante ao triângulo vamos novamente começar pelo ângulo verde efe e aí vamos a um ângulo azul fdc aqui queremos eventualmente chegar à teorema da ps3 interna vamos querer ver a razão entre a b ea de a b ea de triângulo semelhantes ou você poderia achar que a são entre os lados correspondentes terá que ser igual em triângulos semelhantes ou poderíamos achar a razão entre dois lados de triângulo semelhantes compará los à razão de dois lados correspondentes no outro triângulo semelhante e eles devem ser iguais por semelhança de triângulos sabemos que a razão de a b a propósito foi pelo caso de semelhança ângulo ângulo quero escrever isso aqui agora que nós sabemos que eles são semelhantes a gente sabe que a razão de a b ea de sabemos que a razão entre a b e d será igual a ele podemos ver isso aqui para os lados correspondentes a razão de a b ao lado correspondente será cf será igual à cf sobre a de adn e é a mesma coisa que cd sobre cd assim nós sabemos que a razão de a b sobre a de é igual a cf sobre cd mas acabamos de provar para nós mesmos porque esse é um triângulo isósceles que cf a mesma coisa que bc então cf é a mesma coisa que o bc terminamos acabamos de provar que a b sobre a de é igual à bbc sobre cd então tem umas duas coisas que precisamos fazer aqui montar esse outro triângulo que nos permitiu supondo que isso era paralela e nos deu duas coisas isso nos deu um outro ângulo para mostrar que eles são semelhantes e também nos permitiu estabelecer a gente é capaz de usar montando esse triângulo aqui a gente pode mostrar a semelhança e montar esse triângulo isósceles maior para mostrar veja só nós podemos achar a razão entre os dois lados desse triângulo e esse aqui aquilo vai ser a razão disso se pudermos achar a razão desse lado pra esse lado é a mesma que a razão desse lado pra esse lado isto é análogo pra mostrar que a razão desse lado para esse lado é a mesma coisa que descer para cd e terminamos