Problema de geometria: raios da Terra e da Lua

RKA - As dimensões da Terra e da Lua, em relação uma à outra, forma um triângulo de ouro. Representada pelo Φ (fi), a proporção áurea é o único número que tem a propriedade matemática de seu quadrado ser 1 a mais que si mesmo, e tem um vídeo só sobre o Φ, sugiro que assista, vai te dar arrepios, se assistir e fizer esse problema, vai ficar ainda mais arrepiado. Vamos tentar solucionar. Dizem que Φ mais 1 é Φ ao quadrado, o que é legal. E aqui informam o valor de Φ. Φ é aproximadamente 1,61803, e continua infinitamente. Mais 1, vai ser 1,61803 ao quadrado, o que dá 2,61803, é outra forma de expressar. Aplicando o Teorema de Pitágoras a esta equação, um triângulo retângulo com lados Φ, raiz quadrada de Φ e 1 é construído. O que isso quer dizer? Aqui se parece com o Teorema de Pitágoras, se transformar em "a" ao quadrado, em "b" ao quadrado e em "c" ao quadrado, estaria expressando a relação entre os lados de um triângulo retângulo, onde nossa hipotenusa, "c", é igual a Φ, e este lado menor, "b", é igual a 1. A raiz quadrada de 1 é 1. E o lado mais longo, mas não a hipotenusa, vai ser a raiz quadrada de Φ. Então, esta primeira sentença diz isso. E o que vem agora é incrível! Como demonstrado abaixo, os raios da Terra e da Lua são proporcionais a Φ. Isso é demais. Vou trocar a cor. Se pegar o raio da Terra, é este raio. Não estou conseguindo trocar de cor. Se você pegar o raio da Terra e somá-lo ao raio da Lua, a soma dos dois raios, a razão dessa soma em relação aos raios da Terra, é a raiz quadrada de Φ. E você deve pensar um pouco no Universo. Pause o vídeo e reflita. Quem se importa com o problema? É melhor responder a questão. Mas é meio sinistro porque não é só aqui que aparece, aparece por toda a parte, na natureza e na matemática. É um número fascinante por muitos motivos, e é meio sinistro, mas, vamos voltar ao nosso problema. Se o raio da Terra mede 6.371 quilômetros, qual é o raio da Lua? Vamos redesenhar esse triângulo, mas em termos de quilômetros. Aqui, as medidas estão em termos do raio da Terra. Este é 1 raio da Terra. Se é 1 raio da Terra a distância inteira, os raios combinados da Lua e da Terra são a raiz quadrada de Φ raio da Terra. E a hipotenusa desse triângulo é Φ raio da Terra. Isso está em termos do raio da Terra, mas vamos redesenhar o triângulo em termos de quilômetros. Vamos desenhar em termos de quilômetros, estou tentando fazer parecido. Se desenhar em termos de quilômetros, vou fazer um desenho aproximando. Essa aqui é a Terra, vou desenhar só uma parte, não preciso desenhar tudo, né? Já deu para entender. E esta é a Lua, já deu para entender também, né? A gente sabe que o raio da Terra mede 6.371 quilômetros. A gente também sabe que a altura desse triângulo retângulo é raiz quadrada de Φ raio da Terra. Em termos de quilômetros, vai ser 6.371 vezes a raiz quadrada de Φ quilômetros. Raiz quadrada de Φ raio da Terra. Isso é toda essa distância, aqui. Querem que calculemos o raio da Lua. Querem saber esta distância. Vamos chamá-la de "r" para o raio da Lua. Como podemos calcular "r"? Também sabemos a distância desse segmento, que eu vou pintar de verde também. Ela mede o raio da Terra. A Terra é praticamente uma esfera. Então, dá para falar que essa distância também é de 6.371 quilômetros. Esse se tornou um problema bem simples. Dá para representar os raios combinados de duas formas. Podemos escrever o raio da Lua mais o raio da Terra, que é de 6.371 quilômetros, e estamos fazendo tudo em quilômetros, agora. E dá para escrever os raios combinados como 6.371 vezes a raiz quadrada de Φ. De novo, os raios combinados são a raiz quadrada de Φ vezes o comprimento do raio da Terra. Aqui tem em termos do raio da Terra, e aqui, em termos de quilômetros. Você multiplica o raio da Terra pela raiz quadrada de Φ e chega a um raio combinado. Agora, basta achar o valor de "r". Podemos subtrair 6.371 dos dois lados, e vamos ter "r" é igual a 6.371 vezes a raiz quadrada de Φ menos 6.371. Se quiser, dá pra fatorar 6.371 dos dois termos, e ficar com "r" é igual a 6.371 vezes a raiz quadrada de Φ menos 1. Terminamos! É bem simples e bacana também, né?