Uso de triângulos semelhantes e congruentes

RKA - Então, neste problema aqui, nos disseram que o triângulo ACE é isósceles, de modo que esse triângulo grande bem aqui é isósceles, o que significa que tem dois lados iguais. E também sabemos sobre triângulos isósceles é que os ângulos da base são iguais. Então, esses dois ângulos da base serão iguais, e esse lado bem aqui vai ser igual no comprimento a esse lado bem aqui. Podemos dizer que AC vai ser igual a CE. Então, tiramos tudo isso dessa primeira afirmação, bem aqui. Então, nos deram mais algumas pistas ou mais informações. Disseram que CG é igual a 24. Isso quer dizer que CG tem comprimento 24. Disseram que BH é igual DF. Então, esses dois segmentos serão congruentes, terão o mesmo comprimento. Disseram que GF é igual a 12, de modo que GF, bem aqui, é igual a 12, que é essa distância aqui. E, finalmente, nos disseram que EF é igual a 6. Então, isso é FE. E assim, finalmente, nos perguntam: "Qual é a área de CBHFD?" Então, CBHFD. Estão nos perguntando pela área, pediram a área dessa parte bem aqui. Dessa parte e essa parte, que é CBHFD. Vamos pensar em como podemos fazer isso. A gente pode descobrir a área do triângulo maior e, então, a partir disso, poderíamos subtrair as áreas desses pequenos pedaços e, no fim, estaríamos aptos a descobrir essa área no meio que eu sombreei. Não temos a informação ainda para resolver, não sabemos a altura ou a altitude desse triângulo, não sabemos a base. Se soubéssemos a base, a gente poderia dizer: "Metade da base vezes a altura.", e teríamos a área desse triângulo. Então, nós temos que encontrar essas áreas, e também não temos toda a informação, não sabemos essa altura. Quando soubermos essa altura, poderemos encontrar essa altura, mas também não sabemos, por enquanto, qual é essa altura aqui. Apenas vamos fazer uma parte de cada vez. A primeira coisa que vamos querer saber, você pode arriscar porque temos falado bastante sobre semelhança, de fazer alguma demonstração sobre semelhança aqui porque é uma porção de triângulos semelhantes, por exemplo, o triângulo CGE compartilha esse ângulo com o triângulo DFE, os dois compartilham esse angulo laranja, e os dois têm esse ângulo reto. Então, eles têm dois ângulos em comum. Vão ser semelhantes pelo caso ângulo-ângulo. Na verdade, pode mostrar que deveria ter um terceiro ângulo em comum, porque esses dois segmentos de reta são paralelos. Então, podemos escrever que o triângulo CGE é semelhante ao triângulo DFE. E sabemos disso por causa do caso ângulo-ângulo, temos um conjunto claro de ângulos correspondentes congruentes e, então, esse ângulo está nos dois triângulos. Assim, há um conjunto de ângulos correspondentes congruentes bem aqui. E assim que sabemos que eles são semelhantes, podemos estabelecer uma razão entre os lados, porque temos alguma informação sobre alguns dos lados. A gente sabe que a razão, sabemos a relação entre DF e esse lado bem aqui, que é o lado correspondente. A razão entre DF e CG, que é 24, vai ser a mesma coisa que a razão entre FE, que é 6, e GE que não é 12, é 12 mais 6, que é 18. Vamos ver: 6 sobre 18 é só 1 sobre 3, você tem 3DF é igual a 24, só fiz a multiplicação cruzada, ou você pode multiplicar os dois lados por 24, multiplicar os dois lados por 3 e você tem isso. Na verdade, você poderia apenas multiplicar os dois lados por 24 e, então, você consegue 24 vezes 1 terço. Nós vamos só fazer assim, dividir os dois lados por 3 e você tem DF é igual a 8. Encontramos que DF é igual a 8, esse comprimento aqui. Isso é útil para nós porque sabemos que esse comprimento também é igual a 8. E agora, o que podemos fazer? Bom, podemos fazer outro. Parece que podemos estabelecer outro argumento de semelhança porque temos esse ângulo, é congruente àquele ângulo bem ali. E, também, temos esse ângulo que vai ser de 90º. Temos um ângulo de 90º e, na verdade, fala por si. É o suficiente dizer que temos dois triângulos semelhantes. Nós não temos que mostrar que eles têm um lado congruente. Na verdade, vamos mostrar que são dois triângulos congruentes com que estamos lidando. Então, temos dois ângulos e, na verdade, poderíamos ir direto porque, quando a gente fala sobre congruência, se você tem um ângulo que é congruente a outro ângulo, outro ângulo que é congruente a outro ângulo e, então, um lado que é congruente a outro lado, você está lidando com dois triângulos congruentes. Vou escrever aqui, vou escrever em rosa. Triângulo AHB é congruente ao triângulo, você vai pegar os vértices correspondentes, certo? Podemos ler o triângulo EFD, e sabemos disso porque sabemos do postulado ângulo-lado-ângulo para congruência. E se dois triângulos são congruentes, o que torna as coisas convenientes, significa que esse lado é 8, aquele lado é 8 e já sabemos disso. É assim que estabelecemos nossa congruência. Mas isso significa que, se esse lado tem comprimento 6, e o lado correspondente nesse triângulo também tem que ter comprimento 6, podemos escrever que esse comprimento também será 6. Agora, posso imaginar, você pode imaginar onde tudo isso vai dar. Nós queremos provar, queremos saber com certeza quanto vale esta área. Não queremos dizer: "Talvez isso seja a mesma coisa que aquilo". Vamos provar de verdade. Como descobrimos, quase descobrimos a base inteira desse triângulo, mas continuamos sem saber o comprimento HG. Agora, podemos usar o argumento da semelhança de novo porque podemos ver que triângulo ABH é realmente semelhante ao triângulo ACG. Os dois têm esse ângulo aqui e os dois têm um ângulo reto, que ABH tem um ângulo reto, que ACG tem um ângulo reto bem aqui. Então, você tem dois ângulos, dois ângulos correspondentes são congruentes entre si. Está, agora, lidando com triângulos semelhantes. Se conhecemos o triângulo ABH, vou só escrever como AHB porque já escrevi dessa forma, AHB é semelhante ao triângulo AGC. Você quer ter certeza de que pegou os vértices na ordem correta. "A" é o ângulo laranja, "G" é o ângulo reto e "C" é o ângulo sem rótulo. Isso é semelhante ao triângulo AGC. Agora, o que isso faz? Se pudéssemos usar as razões para encontrar que HG é igual, o que podemos dizer aqui? Bom, podemos dizer que 8 sobre 24, BH sobre o lado correspondente do triângulo maior, então, dizemos que 8 sobre 24 é igual a 6 sobre, não HG, mas sobre AG. 6 sobre AG, que acho que pode ver aonde vamos chegar, você tem 1 terço é igual a 6 sobre AG. Ou podemos fazer multiplicação cruzada aqui e podemos conseguir AG é igual a 18. Então, o comprimento inteiro, bem acima, é 18. E se AG é 18, AH é 6. Então, HG é 12. E é por isso que você deve ter adivinhado se estivesse tentando adivinhar a resposta. Mas agora, provamos que essa base tem comprimento. Bom, nós temos 18 aqui, e nós temos outro 18 aqui, então, o comprimento de 36. A base inteira é 36. E agora, podemos descobrir a área desse grande, desse triângulo isósceles inteiro. Então, a área do triângulo ACE vai ser igual a meio vezes a base, que é 36, vezes a altura, que é 24. Isso vai ser a mesma coisa que meio vezes 36, que é 18, 18 vezes 24, vou apenas fazer isso aqui em cima, 18 vezes 24, 8 vezes 24 é 32, 1 vezes 4 é 4, mais 3, é 7. Vou colocar um zero aqui porque não estamos fazendo matemática com 2, mas 20, se 2 vezes 8 é 16, 2 vezes 1 é 2, mais 1, 3. Então, é 360. Você tem 2, 7 mais 6 é 13, mais 1, e 1 mais 3 é 4. Então, a área é ACE, é igual a 432. Mas não acabamos. Essa área que nos interessa é a área do triângulo inteiro, menos essa área e menos essa área bem aqui. Então, essa é a área de cada uma dessas pontas bem aqui. Vai ser meio vezes 8, vezes 6. Então, meio vezes 8 é 4, vezes 6, isso vai ser 24, bem aqui, e isso vai ser outro 24, bem aqui, e isso vai ser igual a 432 menos 24, menos 24, ou menos 48, que é igual, e poderíamos tentar fazer isso de cabeça. Se subtrairmos 32, chegamos a 400. teremos que subtrair outro 16. Se subtrair 10 de 400 é 390, então, você chega a 300. Tem 384 de qualquer unidade para isso, se isso fosse em metros, e isso seria metros quadrados. Se fosse centímetros, seriam centímetros quadrados. Eu fiz certo? Vou fazer o contrário, se eu somar 8, se eu somar 40, 24 mais outro 8 me leva a 432 . É, terminamos!