Resolução de problema com triângulos semelhantes: o mesmo lado desempenha funções diferentes

RKA - Neste problema, precisamos descobrir o comprimento de BC. Temos vários triângulos aqui, com vários comprimentos laterais em alguns ângulos retos. Então, talvez, possamos estabelecer semelhança entre alguns dos triângulos. Tem três triângulos diferentes que eu posso ver aqui. Este triângulo, este triângulo e este maior. Se conseguirmos estabelecer alguma semelhança, talvez possamos usar as razões entre os lados para descobrir o valor de BC. Quando você analisa, tem um ângulo reto aqui. Então, no triângulo BDC, você tem um ângulo reto. No triângulo ABC tem outro ângulo reto. Se conseguirmos mostrar que eles têm outro ângulo ou outro conjunto correspondente de ângulos que são congruentes uns aos outros, então, poderemos mostrar que eles são semelhantes. Na verdade, os dois triângulos, BDC e ABC, possuem esse ângulo em comum. Então, se possuem esse ângulo em comum, eles com certeza possuem dois ângulos em comum. Os dois compartilham esse ângulo aqui. Eu vou usar outra cor só para diferenciar. Os dois possuem esse ângulo em comum, então, sabemos que dois triângulos que possuem pelo menos dois lados e possuem pelo menos dois de seus ângulos em comum, têm pelo menos dois ângulos congruentes. Eles serão triângulos semelhantes. Sabemos que esse triângulo, o triângulo ABC... Fomos do ângulo sem nome ao reto, do ângulo reto amarelo ao ângulo laranja. Vou escrever assim. Fomos desse ângulo sem nome ao ângulo laranja ou ângulo amarelo. Estou tendo dificuldade com as cores. Ângulo laranja, ABC. E temos que ter cuidado, pois os mesmos pontos ou os mesmos vértices podem não ter o mesmo papel nos dois triângulos. Queremos ter certeza de que estamos entendendo a semelhança da forma correta. Vértice branco para o vértice do ângulo de 90 graus, ao vértice laranja. Ele será semelhante ao triângulo. Então, qual deles não é nenhum ângulo reto? Estamos olhando para o triângulo menor aqui. Qual deles não é um ângulo reto ou um ângulo laranja? Qual será o vértice B? O vértice B tinha um ângulo reto, quando se pensa no triângulo maior, mas não pensamos só nesse ângulo aqui. Começamos com o vértice B e depois vamos para o ângulo reto. O ângulo reto é o vértice D, depois vamos para o vértice C, que é laranja. Então, mostramos que eles são semelhantes. Agora que sabemos que são semelhantes, podemos tentar calcular as razões entre os lados. Vamos pensar! Sabemos que o comprimento de AC será igual a 8, 6 + 2. Qual o lado correspondente nesse triângulo aqui? Você pode aprender a olhar para as letras. A e C vão corresponder a B e C, o primeiro e o terceiro. AC vai corresponder a BC. Então, isso é interessante, pois já estamos envolvendo BC. Então qual será a correspondência? Se olharmos para BC no triângulo maior, BC vai corresponder ao quê, no triângulo menor? Vai corresponder a DC. Isso é bom, pois sabemos o valor de AC e DC, então podemos calcular BC. Vamos dar mais um passo para mostrar o que fizemos aqui, pois BC tem dois papéis diferentes. Na primeira afirmação, estamos pensando que BC, do nosso triângulo menor, corresponde a AC no triângulo maior. Na nossa segunda afirmação, BC, no triângulo maior, corresponde a DC no triângulo menor. Nos dois casos, esses são nossos triângulos maiores e isso vem do triângulo menor aqui, os lados correspondentes. Esse é um problema legal, porque BC tem dois papéis diferentes nos dois triângulos. Mas agora temos informações suficientes para calcular BC. Sabemos que AC = 9. AC = 8, 6 + 2 = 8. E sabemos que DC = 2. Isso nos é fornecido. Agora multiplicamos em "x". 8 vezes 2 é 16, que é igual a BC vezes BC, que é BC². BC será igual à raiz principal de 16, que é 4. BC = 4 e acabamos. A parte mais difícil desse problema é perceber que BC tem dois papéis diferentes e manter a mente focada nesses dois papéis diferentes. Só para deixar claro, eu vou desenhar esses dois triângulos separadamente. Se desenhar ABC separadamente, ficaria assim. Ficaria assim, esse é meu triângulo ABC. E esse é um ângulo reto, esse é nosso ângulo laranja. Sabemos que o comprimento desse lado é 8. E sabemos que o comprimento desse lado, que descobrimos com esse problema, é 4. Se quisermos desenhar BDC, desenharíamos assim. BDC fica assim, este é BDC. Assim é um pouco mais fácil de visualizar, pois esse é o nosso ângulo reto, esse é o nosso ângulo laranja, esse é 4 e esse aqui é 2. Eu fiz assim para mostrar que você tem que virar esse triângulo ao contrário e girá-lo só para ter uma orientação parecida e, assim, talvez fique um pouco mais claro. Se você achar essa parte confusa, eu aconselho a tentar virar ao contrário e girar BDC de tal forma que ele fique parecido com o ABC. Assim, essa razão vai fazer mais sentido.