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Demonstração de que o coeficiente angular é constante usando a semelhança

Transcrição de vídeo

RKA - Existe uma tendência nas aulas de álgebra de dizer que, se temos uma reta, ela terá uma taxa constante de variação em y no que diz respeito a x, ou outra forma de se entender é que a reta terá uma inclinação constante, ou que a reta terá um coeficiente angular constante. O coeficiente angular é definido como a variação em y. Esse triângulo é a letra grega delta, que é a abreviação de variação, que significa variação em y. Delta y significa variação em y sobre variação em x e, se estiver lidando com uma reta, é constante. O que quero fazer nesse vídeo é provar isto usando triângulos semelhantes da geometria. Vamos pensar sobre dois pares de dois pontos. Então, digamos que é um ponto aqui. Vou fazer com uma cor diferente. E neste ponto para terminar naquele ponto. Qual seria a variação em x entre esses dois pontos? O valor de x deste ponto é aqui. O valor de x deste ponto é bem aqui. Então, nossa variação em x será aquela ali. E qual é a variação em y? O valor de y deste ponto está bem aqui. O valor de y desse ponto está bem aqui. Essa altura, ou essa altura, é a nossa variação em y. É a nossa variação em y. Agora, vamos dar uma olhada em dois outros pontos. Digamos que eu tenha este ponto e este ponto. Vamos fazer o mesmo exercício: qual é a variação em x? Este é o valor x do ponto aqui. Este é o valor x do ponto e a gente vai até essa distância, que será a variação em x entre esse ponto e esse ponto. Esta será a variação. Vou fazer no mesmo tom de verde. Esta será a variação em x entre aqueles dois pontos. Nossa variação em y está aqui, esse valor de y está aqui, então nossa variação em y será aquela. Só estou escolhendo dois pontos aleatórios. Preciso mostrar que a razão desta variação em y para esta variação em x vai ser a mesma que a razão desta variação em y para esta variação em x, ou a razão desse lado roxo para esse verde será a mesma que a razão desse lado roxo para esse lado verde. Lembre-se, estou só selecionando dois pares de pontos aleatórios e vou mostrar através da similaridade. Se eu puder mostrar que esse triângulo é semelhante a esse outro triângulo, tudo estará resolvido. Como lembrete do que é a similaridade: dois triângulos são semelhantes e têm múltiplas maneiras de entender. Todos os três ângulos são os mesmos, ou são congruentes. Eu vou ser cuidadoso aqui. Eles não precisam ter exatamente o mesmo ângulo. Os ângulos correspondentes precisam ser os mesmos. Correspondentes precisam ser os mesmos. Ou podemos dizer que são congruentes. Por exemplo, se tenho esse triângulo que é 30, este é 60 e este é 90. Então, tenho esse triângulo bem aqui. Vou tentar desenhar. Tenho esse triângulo onde isto é 30 graus, isto é 60 graus e isto é 90 graus. Ainda que o comprimento dos seus lados sejam diferentes, estes serão triângulos semelhantes, serão basicamente versões em escala maior um do outro. Todos os ângulos correspondentes, 60 corresponde a esse 60, 30 corresponde a esse 30 e 90 corresponde a esse. Esses dois triângulos são semelhantes. O mais legal sobre triângulos semelhantes é que, se conseguir estabelecer que dois triângulos são semelhantes, então a razão entre lados correspondentes será a mesma. Se estes dois são semelhantes, logo a razão deste lado e deste lado será a mesma que a razão de, vou fazer em rosa, este lado e este lado. Dá para ver porquê isso será útil para provar que o coeficiente angular é constante, porque tudo que tem que fazer é, olhe, se esses dois triângulos são semelhantes, a razão entre lados correspondente será sempre a mesma. Escolhemos dois pares de pontos aleatoriamente. Então, será verdade, de fato, para quaisquer dois pares de pontos na reta. Seria verdade para a reta inteira. Vamos tentar provar a semelhança. A primeira coisa que a gente sabe é que os dois são triângulos retângulos. Essas retas verdes são perfeitamente horizontais e essas retas roxas são perfeitamente verticais, porque as retas verdes literalmente vão na direção horizontal. As retas roxas vão na direção vertical, então quero ter certeza de que marcamos isso. A gente sabe que os dois são ângulos retos, têm um ângulo correspondente que é congruente. Agora, tem que mostrar que os demais também são. Dá para mostrar que os demais são usando o nosso conhecimento de retas paralelas transversais. Vamos olhar para essas duas retas verdes e vou continuar. Estes são os segmentos de reta, mas se visualizar como retas e der continuidade indefinidamente, então vou fazer da mesma maneira que aqui. Essa reta está claramente paralela àquela. Basicamente, são perfeitamente horizontais. Dá para visualizar nossa reta laranja como uma transversal. Se visualizar como uma transversal, saberá que esse ângulo corresponde a este ângulo e sabemos, das transversais de retas paralelas, que ângulos correspondentes são congruentes. Esse ângulo será congruente àquele ângulo bem ali. Agora, usaremos uma argumentação muito semelhante para este ângulo, mas usando as duas retas verticais. Sabemos que poderia continuar esse segmento como uma reta. Poderia continuar, se quisesse, como se fosse uma reta, dessa forma, como uma reta vertical. Poderia continuar este como uma reta vertical. Sabemos que as duas são verticais elas estão apontando, elas estão exatamente na direção de y, indo na vertical. Essa reta é paralela a essa reta bem aqui. Uma vez mais, nossa reta laranja é uma transversal delas. Esse ângulo corresponde a este ângulo bem aqui. E aqui está! Eles são congruentes. Ângulos correspondentes da transversal de duas retas paralelas são congruentes, aprendemos na aula de geometria. E aqui estão todos os correspondentes. Este ângulo é congruente a este, este ângulo é congruente em relação àquele ângulo, assim os dois têm 90 graus. Os dois são triângulo semelhantes. Vou escrever para que saiba que os dois são triângulos. Os dois são triângulos semelhantes. Agora, podemos usar a razão comum dos dois lados. Por exemplo, se chamar o comprimento deste lado de "a" e disser que o comprimento deste lado é "b", disser que o comprimento desse lado é "c" e que o comprimento deste lado é "d", a gente vai saber com certeza a razão, porque estes são triângulos semelhantes, e a razão entre lados correspondentes "a" e "b" vai ser igual à razão entre "c" e "d". Esta razão é, literalmente, a definição do coeficiente angular. Sua variação em y sobre sua avaliação em x. Isso é uma constante porque quaisquer triângulos retângulos que eu gerar entre esses dois pontos que acabamos de mostrar serão semelhantes. Se eles são semelhantes, então a razão do comprimento deste segmento de reta vertical e deste segmento de reta horizontal é constante. Esta é a definição de coeficiente angular. O coeficiente angular é constante para uma reta.