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Exploração de triângulos mediais

As três bases médias (segmentos que unem os pontos médios dos lados) de um triângulo formam um triângulo medial. Descubra as propriedades das bases médias, do triângulo medial e dos outros três triângulos formados desta maneira. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Peguei um triângulo qualquer aqui, vamos chamar isso de triângulo ABC. O que eu quero fazer é olhar para os pontos médios de cada um dos lados de ABC. Esse é o ponto médio de um dos lados do lado BC. Vamos chamar isso de ponto "D", vamos chamar de ponto médio "E", e vamos chamar esse ponto médio aqui de "F". Esse é o ponto médio, sabemos que a distância de BED é igual à distância DAC, e essa distância é igual à essa distância. Sabemos que AE é igual a EC. Essa distância é igual àquela distância e sabemos que AF é igual a FB, então, essa distância é igual à essa distância. Ao invés de desenhar medianos saindo desses pontos médios aos vértices, o que eu quero fazer é conectar nesses pontos médios e ver o que acontece. Se eu conectá-los claramente tenho esses três pontos, então, se conectar três pontos não lineares como esse, vai obter outro triângulo. E esse triângulo, que é formado pelos pontos médios dos lados desse triângulo maior, a gente chama de triângulo médio. Triângulo médio. E está tudo bem e bonito com ele, mas o que vamos ver nesse vídeo é que o triângulo médio, na verdade, tem algumas propriedades particulares. O que vamos mostrar é que ele divide qualquer triângulo em quatro triângulos menores, são congruentes um ao outro, que todos os quatro desses triângulos são idênticos um ao outro e são semelhantes ao triângulo maior. Você pode pensar neles como cada um tendo 1/4 da área do triângulo maior, então, vamos provar isso. Primeiro, vamos focar nesse triângulo aqui embaixo: triângulo CDE. E parece com o triângulo maior, o triângulo CBA, mas vamos provar isso. Uma coisa que poderíamos dizer é: os dois dividem o ângulo aqui, os dois têm um triângulo maior, triângulo CBA divide esse ângulo e o menor, triângulo CDE, tem esse ângulo. Eles definitivamente compartilham esse ângulo. Agora, vamos olhar para as relações dos lados, a gente sabe que a relação do CD, sabemos que a relação de CD a CB, a relação CD/CB é igual a 1/2, isso é metade desse lado inteiro, então, é igual a 1/2. E é a mesma coisa que a relação de CE/CA, CE é exatamente metade de CA, porque "E" é o ponto médio. É igual a CE/CA. Nós temos um ângulo e ângulos correspondentes que são congruentes. A relação de dois lados correspondentes de qualquer lado do ângulo ou mesmo CD/CB como metade, CE/CA como 1/2, e o ângulo no meio é congruente. LAL, então, pelo critério de semelhança LAL, lado-ângulo-lado. Sabemos que o triângulo CDE, triângulo CDE é semelhante ao triângulo, ao triângulo CBA. A partir disso você pode obter alguns resultados interessantes, porque sabemos que a relação desses lados do triângulo menor, do triângulo menor ao triângulo maior também será de 1/2 porque os outros dois lados têm uma relação de 1/2. O que vamos fazer com os triângulos semelhantes? Então, isso vai ser metade daquilo. A gente sabe que 1/2 de AB será o comprimento de FA, então, sabemos que esse comprimento aqui será o mesmo que o FA ou FB. Podemos conseguir isso direto nos triângulos semelhantes, porque esses são similares. Sabemos que DE/BA tem que ser igual a essas relações. Os outros lados correspondentes que são iguais à metade, então, é como nós temos isso aqui. Vamos pensar sobre esse triângulo aqui em cima. Vamos pensar nesse triângulo aqui em cima. Triângulo que podemos chamar de BDF. BDF. Primeiro, comparamos os triângulos BDF ao triângulo maior. Eles dividem esse ângulo aqui, ângulo ABC, os dois têm esse ângulo em comum e vamos ter exatamente o mesmo argumento. A gente pode olhar para esse diagrama. Você sabe que a relação de BA, deixe-me fazer dessa forma a relação de BF/BA, a relação de BF/BA é igual à metade, que também é a relação de BD/BC, BD/BC. A relação desse com esse é a mesma relação desse com esse, que é metade, porque BD é metade desse comprimento inteiro, BF é metade desse comprimento inteiro. E você tem lados correspondente que têm a mesma relação nos dois triângulos e dividem um ângulo entre eles. De novo, pelo critério de semelhança LAL, a gente sabe que o triângulo, sabemos que o triângulo DBF, triângulo DBF é semelhante ao triângulo CBA, é semelhante ao triângulo CBA. E, mais uma vez, usamos esse mesmo tipo de argumento que fizemos com esse triângulo. Se isso é semelhante com relação de todos esses lados correspondentes, tem que ser o mesmo e a relação é metade. A relação desse lado com esse lado. A relação de FD, a relação de FD/AC tem que ser 1/2, ou FD tem que ser metade de AC, cuja metade de AC é só o comprimento de AE. Esse vai ser o comprimento aqui, acho que você consegue ver para onde isso está indo. E também, porque é semelhante a todos os ângulos correspondentes, tem que ser o mesmo. Sabemos que isso é isso, que o maior triângulo tem um ângulo amarelo aqui, então, temos aquele ângulo ali. Esse triângulo aqui foi também semelhante a esse triângulo maior, vai ter a mesma medida do ângulo aqui de cima. Vamos mostrar isso nessa primeira parte. Agora, vamos fazer esse terceiro triângulo. Acho que você vê o padrão. Tenho certeza que consegue pausar esse vídeo e provar para você mesmo, mas vemos que a relação de AF/AB será a mesma que a relação de AE/AC. AE/AC que é igual a 1/2. A gente tem dois lados correspondentes, a relação é metade do triângulo menor para o maior e que eles dividem um ângulo comum, dividem o ângulo entre os dois lados. Pela semelhança LAL, isso está ficando repetitivo, né? Sabemos que o triângulo EFA, triângulo EFA é semelhante ao triângulo CBA, ao triângulo CBA. A razão dos lados correspondentes será 1/2. A razão de FB/BC precisa ser metade ou FE precisa ser metade disso, que é o comprimento de BD. Esse vai ser aquele comprimento ali. E pode dizer que desde que mostramos tudo nesse triângulo, nesse triângulo e esse triângulo que não falamos ainda, sobre esse do meio, eles são todos semelhantes ao triângulo maior. Eles todos vão ser semelhantes um ao outro, então, eles todos vão ter os mesmos ângulos correspondentes. Se um triângulo grande tinha esse ângulo amarelo, todos os triângulos terão esse ângulo amarelo ali. E o maior triângulo terá esse ângulo azul aqui, o vértice correspondente de todos os triângulos, nós vamos ter esse ângulo azul. Todos os que mostramos são semelhantes, não pensamos sobre esse triângulo do meio ainda. E, claro, se esse é semelhante a todos, também terá esse ângulo nesse vértice aqui, porque esse corresponde àquele vértice baseado na semelhança. É interessante. Agora, vamos olhar para o... vamos comparar os triângulos. Mostramos, agora, que todos esses triângulos têm os mesmos três lados: têm esse lado azul ou, devo dizer, desse lado marcado; esses dois lados marcados; desses três lados marcados; uma marca, duas marcas, três marcas. Isso, uma marca, duas marcas, três marcas. E isso até se aplica esse triângulo do meio aqui. Então, por LLL, por Lado-Lado-Lado, que é um caso de congruência. Agora, sabemos e temos que ter cuidado quando pegamos os lados correspondentes corretos. Agora, sabemos que o triângulo CDE é congruente ao triângulo DBF. DBF. Quero os lados correspondentes, estou olhando para as cores. Quero do amarelo para vermelho ao azul, amarelo ao vermelho ao azul, que será congruente ao triângulo EFA. EFA, que será congruente a esse triângulo aqui. Queremos ter certeza de que estamos tendo os lados correspondentes aqui. Então, tem a certeza de que, ao fazer isso, só teremos que pensar sobre os ângulos. Agora, sabemos, e isso é interessante que, porque os ângulos internos de um triângulo somam 180°, sabemos que esse ângulo vermelho mais esse ângulo azul, mais esse ângulo amarelo é igual a 180°. Aqui, temos o ângulo azul e o ângulo vermelho, e claramente eles todos somam 180°. Você tem que ter o ângulo azul, que deve ficar bem aqui. O mesmo argumento: o amarelo e o azul precisam ter o ângulo vermelho aqui, eles somam 180°, então, esse deve ser o ângulo vermelho. E finalmente o vermelho e azul. Esse deve ser o ângulo amarelo aqui. Quando escrevemos congruência, começamos com CDE, amarelo, vermelho, azul. Então, aqui nós vamos com amarelo, vermelho, azul, e isso vai ser congruente ao triângulo FED, triângulo FED. Então, é legal que tenhamos mostrado que todos os três triângulos, esses triângulos, esse triângulo esse aqui e esse aqui são congruentes, e também podemos olhar para os correspondentes e que eles todos possuem razões relativas ao triângulo maior, eles são todos semelhantes ao triângulo maior, ABC. E que a relação entre os lados é 1 para 2. Também, porque olhamos para os ângulos correspondentes, vemos, por exemplo, que esse ângulo é o mesmo que aquele ângulo. Se você viu DC, se olhou para BC como transversal, de repente, fica bastante claro que FD será paralelo a AC, porque os ângulos correspondentes são congruentes e isso vai ser paralelo a isso aqui. Você pode usar isso como o mesmo argumento para dizer: então, esse lado porque, mais uma vez, ângulos correspondentes, correspondentes aqui e aqui, pode dizer que isso será paralelo a isso. E, finalmente, com o mesmo argumento aqui você tem, quero ter certeza de que pego os mesmos ângulos correspondentes, você tem essa reta, essa reta e esse ângulo correspondente àquele ângulo, são os mesmos. Esse DE deve ser paralelo a BA. Essa é outra propriedade importante desse triângulo médio. Acho que tudo isso simplesmente apareceu quando tentou fazer alguma coisa com o triângulo.