Demonstração: retas paralelas dividem os lados do triângulo de forma proporcional

RKA10MP – E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos provar que uma linha paralela a um segmento de um triângulo divide os outros dois lados em segmentos proporcionais. E temos um exercício que é justamente isso. Prove que se um segmento é paralelo a um lado de um triângulo, então, ele divide os outros dois lados proporcionalmente. Sugiro que você pause o vídeo e utilize esta imagem para tentar provar isso. Então, vamos resolver juntos? Olhando a imagem, podemos ver que o segmento ED é paralelo ao segmento CB, e podemos colocar isso aqui, o segmento ED é paralelo ao segmento CB. E este segmento ED, do qual estamos falando na nossa questão, que é paralelo ao lado de um triângulo, sendo que o lado do triângulo é este, e o que queremos fazer é provar que este segmento divide os outros dois lados do triângulo proporcionalmente. E ser proporcional significa que se eu dividir este segmento, por exemplo, por esse aqui, neste lado do triângulo, isso vai ser a mesma coisa que pegar este segmento e dividir por este. Então, uma outra maneira de dizer que divide os outros dois lados proporcionalmente é colocar que AE dividido por EC é igual a AD dividido por DB. Ou seja, isso aqui é equivalente a isso. E uma maneira de fazer isso é utilizar a semelhança entre os triângulos AED e ACB. Vamos utilizar a semelhança entre esses dois triângulos para tentar provar isso. Inicialmente, perceba que esses dois lados são paralelos e, por causa disso, este segmento é uma transversal. E com isso, este ângulo é correspondente a este, e ângulos correspondentes são congruentes. Portanto, o ângulo 1, que posso representar assim, é igual ao ângulo 3, e o motivo disso é porque eles são ângulos correspondentes. E pela mesma razão, nós também sabemos que este ângulo 2 é correspondente a este ângulo 4 e, por isso, são iguais, são congruentes. Então, o ângulo 2 é igual ao ângulo 4 e, de novo, porque são ângulos correspondentes. Observe que, nesse caso, a transversal é esta. E se você olhar agora, o triângulo AED e o triângulo ACB possuem dois ângulos que são iguais, que são os ângulos da base. E se isso acontece, este terceiro ângulo também é comum aos dois triângulos. Então, podemos dizer que o triângulo AED é semelhante ao triângulo ACB pelo critério de semelhança ângulo, ângulo. E sabendo que esses dois triângulos são semelhantes, podemos definir uma proporção. Por causa da semelhança podemos dizer que AE, que é este segmento, dividido por este segmento maior, que é AC, é a mesma coisa que AD, que é este segmento, dividido pelo lado maior, que é AB, então, dividido por AB, e, com isso, posso fazer uma manipulação algébrica. Olha só, AC é todo este segmento, portanto, posso dizer que AE dividido por AC é a mesma coisa que AE mais EC, isso porque AC é igual a AE mais EC. Isso vai ser igual a AD sobre AB, mas AB é todo este segmento, e posso escrevê-lo como AD mais DB, então, sobre AD mais DB. E o que resta fazer agora é manipular algebricamente isto e chegar nisto aqui. Posso descer para deixar um pouquinho mais de espaço. Bem, então, vamos fazer as contas? Posso efetuar o produto cruzado aqui e vou ficar com AE, que multiplica AD mais DB, e isso vai ser igual a AD, que multiplica AE mais EC, e aplicando a distributiva tanto aqui quanto aqui, vamos ter que AE multiplica AD, mais AE que multiplica DB, e isso vai ser igual a AD que multiplica AE, mais AD que multiplica EC. Olhando aqui, será que tem alguma coisa que podemos simplificar? Observe que tem um AE vezes AD aqui e um AD vezes AE do outro lado da equação, que é a mesma coisa e, por isso, podemos cancelar os dois, já que se subtrairmos os dois lados da equação por este termo, vai cancelar os dois, e vamos ficar somente com AE vezes DB e AD vezes EC. E se dividirmos ambos os membros dessa equação por EC, vamos cancelar este EC, e se dividirmos ambos os membros da equação por DB, aqui vamos ficar com DB e este DB vai ser cancelado. Se eu ajeitar isso aqui ao lado, vamos ter que AE dividido por EC é igual a AD dividido por DB, que era o que queríamos provar. Ou seja, queríamos provar que se uma reta é paralela a um lado do triângulo, então, isso vai dividir os dois outros lados do triângulo em segmentos proporcionais. E, de fato, AE dividido por EC é a mesma coisa que AD dividido por DB. Espero que esta aula tenha te ajudado. E até a próxima, pessoal!