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Demonstração do teorema de Pitágoras utilizando similaridade

Transcrição de vídeo

RKA - Esse triângulo que temos aqui é um triângulo retângulo, e é um triângulo retângulo porque tem um ângulo de 90 graus, ou tem um ângulo reto. Chamamos o lado maior de um triângulo retângulo, chamamos esse lado, e pode ver que o lado mais longo do triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo de 90 graus, que é chamado de "hipotenusa", é uma palavra muito rebuscada para uma ideia razoavelmente simples, é o lado mais longo do triângulo retângulo, ou o lado oposto ao ângulo de 90 graus. E é bom saber isso, porque alguns podem dizer "hipotenusa" e você pode pensar "ah, estão apenas falando sobre esse lado, o lado maior, lado oposto ao ângulo de 90 graus". O que eu quero fazer é provar uma relação muito famosa entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. Suponha que o comprimento de "AC", "A" maiúsculo, "C" maiúsculo, vamos chamar esse comprimento aqui de "a" minúsculo, vamos chamar o comprimento de BC, de "b" minúsculo, aqui. Vou usar maiúsculas para pontos, e minúsculas para comprimentos. E vamos chamar o comprimento da hipotenusa, o comprimento de AB, vamos chamar de "c". Vejamos se podemos criar uma relação entre "a", "b" e "c". Para fazer isso, primeiro vou construir outra reta, ou outro segmento, eu deveria dizer, entre "C" e a hipotenusa. Vou construí-lo para cruzar o ângulo reto. Você sempre pode fazer isso, podemos chamar esse ponto aqui, chamamos esse ponto de "D", maiúsculo. Perguntam: "como sempre consegue fazer isso?" Pode imaginar esse triângulo inteiro rondando assim. Essa é a comprovação, mas apenas da ideia geral de como pode construir um ponto assim. Se rodá-lo, agora estamos apoiando na nossa hipotenusa, esse é o ponto "B". Esse é o ponto "A". Então, rodamos a coisa toda ao contrário, esse é o ponto "C". Pode imaginar jogar uma pedra do ponto "C", com talvez uma corda amarrada, e acertaria a hipotenusa com um ângulo reto. Isso foi o que fizemos aqui, para estabelecer o segmento CD, onde pusemos no nosso ponto "D", aqui. A razão pela qual fizemos isso é que, agora, podemos fazer todos os tipos de relações interessantes entre triângulos semelhantes, porque temos três triângulos aqui: temos o triângulo ADC, o triângulo DBC e, então o maior, o triângulo original ABC. A gente pode, espero, estabelecer semelhanças entre esses triângulos. Primeiro, vou mostrar que ADC é similar ao maior, porque os dois têm um ângulo reto. ADC tem um ângulo reto aqui, se esse ângulo é de 90 graus, esse ângulo será de 90 graus também, eles são suplementares, têm que somar 180. E os dois têm um ângulo reto, o menor tem um ângulo reto, o maior, claramente, tem um ângulo reto, que é de onde começamos. Os dois compartilham esse ângulo reto, ângulo DAC ou BAC, como quiser se referir a ele. Na verdade, podemos escrever aquele triângulo, vou começar com o menor. ADC, talvez eu o cubra, esse é o triângulo de que estamos falando, triângulo ADC, na ordem do ângulo azul até o ângulo reto para o ângulo não nomeado, do ponto de vista de ADC. Esse ângulo reto não se aplica para aquele ali, se aplica para o triângulo maior. Podemos dizer que o triângulo ADC é semelhante ao triângulo ACB. De novo, você deve começar no ângulo azul "A" e, então, ir até o ângulo reto, esse era o triângulo ACB. Pelo fato de eles serem semelhantes, a gente pode arranjar uma relação entre as razões dos seus lados. Por exemplo, sabemos a razão dos lados correspondentes, em geral para triângulo semelhantes, a gente sabe que as razões dos lados correspondentes serão constantes. Podemos pegar as razões. A hipotenusa desse triângulo menor, a hipotenusa é AC, ou a hipotenusa do maior, que é AB. AC sobre AB será a mesma coisa que AD, como um desses catetos, AD, só para mostrar que estou pegando os pontos correspondentes nos dois triângulos similares. Isso é AD sobre AC. Você pode olhar para esses triângulos e dizer: "olha, o lado AD está entre o ângulo azul e o ângulo vermelho, o lado AC está entre o ângulo azul e o ângulo vermelho do triângulo maior". Esses dois são dos triângulos maiores, esses são os lados correspondentes do triângulo menor. E, se isso ficou confuso, desde que tenha escrito corretamente nossa afirmação de semelhança, pode encontrar os pontos correspondentes. AC corresponde a AB no triângulo maior. AD, no triângulo menor, corresponde a AC no triângulo maior. Sabemos que AC, podemos reescrever isso como "a" minúsculo, AC é "a" minúsculo. Não temos nenhum nome para AD, temos um nome para AB, que é "c", aqui. Não temos um nome para AD, então, vamos chamar AD de "d" minúsculo. "d" se aplica àquela parte ali. "c" se aplica àquela parte inteira ali. Vamos chamar DB, vamos chamar aquele comprimento de "e", isso fará as coisas mais simples para nós. AD, vamos chamar de "d". Então, temos "a" sobre "c" igual a "d" sobre "a". Se multiplicarmos cruzado, "a" vezes "a" é igual a "a²", igual a "c" vezes "d", que é "cd". Esse é um resultado um pouco interessante. Vejamos o que podemos fazer com o outro triângulo, esse triângulo bem aqui. De novo, ele tem ângulo reto, o maior tem um ângulo reto, e os dois possuem esse ângulo, aqui, em comum. Por semelhança de ângulos, os dois triângulos serão semelhantes. Podemos dizer que o triângulo BDC, fomos do rosa para o ângulo reto, até o não nomeado, o triângulo BDC é semelhante ao triângulo... agora, vamos olhar para o triângulo maior. Vamos começar com o ângulo rosa, ângulo rosa B, e vamos para o ângulo reto CA, BCA. Do ângulo rosa para o ângulo reto, para o ângulo sem nome, pelo menos pelo ponto de vista daqui, antes do azul. Agora, organizamos um tipo de relação aqui, a gente pode dizer que a razão no triângulo menor BC, lado BC sobre BA, BC sobre BA, novamente, estamos pegando as hipotenusa dos dois, então, BC sobre BA será igual a BD, aqui temos outra cor, BD. Isso é um dos catetos, BD. O modo como desenhei é cateto menor. BD sobre BC. Estou pegando os vértices correspondentes sobre BC. Novamente, sabemos que BC é o mesmo que "b" minúsculo, BC é "b". BA é "c" minúsculo, então, BD definimos como "e" minúsculo, esse "e" podemos multiplicar cruzado aqui, e "b" vezes "b", mencionei isso em muitos vídeos, multiplicar cruzando os dois lados pelos dois denominadores, "b" vezes "b" é "b²", igual a "ce". Agora, podemos fazer uma coisa interessante, podemos somar essas duas afirmações aqui embaixo, deixe eu reescrever aqui embaixo. Então, b² = "ce". Se a gente somar os lados esquerdos, obtemos a² + b² = cd + ce Temos um "c" nesses dois termos, para que possamos fatorar. Isso vai ser igual a... podemos fatorar o "c", e vai resultar em "c" vezes (d + e). Fecha os parênteses. Agora, quanto é (d + e)? "d" é esse comprimento, "e" é esse comprimento. (d + e) vai ser "c" também. Isto vai ser "c". Então, "c" vezes "c" é a mesma coisa que "c²". Agora, temos uma relação interessante, temos aquele a² + b² = c². Deixe eu reescrever isso, vou escolher uma cor nova. Deletei aquilo por acidente. Deixe eu escrever. Estabelecemos que a² + b² = c². E esse é apenas um triângulo retângulo arbitrário, isso é para qualquer um dos dois triângulos. Acabamos de estabelecer que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Esse é provavelmente um dos mais famosos teoremas da matemática, nomeado em homenagem a Pitágoras, mas não está claro se ele foi a primeira pessoa a afirmar isso, mas é chamado de "Teorema de Pitágoras". E é a base de... bom, não toda a geometria, mas muito da geometria que vamos fazer, e forma a base de toda trigonometria que faremos. E é realmente muito útil se você conhece os dois lados de um triângulo retângulo, então, sempre pode achar o terceiro.