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Geometria intermediária

Curso: Geometria intermediária > Unidade 9

Lição 1: Objetos 2D vs. 3D

Vocabulário de geometria espacial

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Aprenda os nomes de figuras sólidas comuns, as partes delas e como descrever as suas seções transversais.

Tipos de sólidos 3D

Prismas e figuras semelhantes a prismas

Um prisma é um par de polígonos congruentes em planos paralelos e a coleção de todos os pontos entre eles.

Vamos usar essa figura semelhante a um prisma para representar todas as figuras semelhantes a um prisma, exceto que a base pode ser qualquer forma 2D. A figura semelhante a um prisma mais comum é um cilindro.

Outra forma de pensar nos prismas e nas figuras semelhantes a prismas é que eles são a coleção de translações da base. Todas as seções transversais de um prisma paralelas à base dele têm a mesma área.

Um prisma reto tem a face superior diretamente acima da face inferior. O vetor de translação é perpendicular às bases.

Um prisma oblíquo tem um vetor de translação não perpendicular.

Pirâmides e figuras semelhantes a pirâmides

Uma pirâmide é um polígono, um vértice em um plano diferente e a coleção de todos os pontos entre eles.

Vamos usar essa figura semelhante a uma pirâmide para representar todas as figuras semelhantes a uma pirâmide, exceto que a base pode ser qualquer forma 2D. A figura semelhante a uma pirâmide mais comum é um cone.

Outra forma de pensar em pirâmides e figuras semelhantes a pirâmides é que elas são a coleção de dilatações da base sobre o vértice para todos os fatores de escala de 0 até 1.

Uma pirâmide reta tem seu vértice diretamente acima do centro da base.

Uma pirâmide oblíqua tem seu ápice em qualquer outro lugar.

Outras figuras comuns

Um poliedro é uma figura sólida na qual todas as superfícies são polígonos. Prismas e pirâmides são exemplos de poliedros.

Uma esfera é uma figura sólida na qual todos os pontos da superfícies têm a mesma distância até o centro dela.

Partes de sólidos 3D

Há um extenso vocabulário útil relacionado a poliedros, mas ele não é tão extenso para as características correspondentes dos objetos 3D com superfícies curvas.

Por uma questão de comunicação, vamos estender o vocabulário dos poliedros também para outras figuras 3D.

Termo	Significado em poliedros	Para figuras com superfícies curvas, elas também significam:
Face	Uma superfície plana	Uma superfície contínua
Aresta	Um segmento de reta no qual 2 faces se encontram	Um segmento de reta ou curva no qual 2 superfícies se encontram
Vértice	Um ponto no qual 2 ou mais arestas se encontram	O ponto oposto e mais longe da base da figura.

Este é um bom lembrete de que a definição de uma palavra depende do contexto. Por exemplo, a fórmula de Euler start text, v, e, with, \', on top, r, t, i, c, e, s, end text, plus, start text, f, a, c, e, s, end text, minus, start text, a, r, e, s, t, a, s, end text, equals, 2 só se aplica a poliedros, então precisamos usar os significados referentes aos poliedros. As palavras se adaptam e ganham novos significados com base nas necessidades.

Seções transversais

A intersecção de um plano e um sólido é uma seção transversal. Portanto, toda seção transversal é uma figura 2D que poderíamos obter ao cortar uma figura 3D.

Orientação do plano	Amostra de figura e planos	Seções transversais
Paralelo à base
Perpendicular à base
Diagonal

Vamos tentar especificar se um plano é perpendicular ou paralelo à base da figura (ou nenhuma das opções) quando fizermos perguntas sobre uma seção transversal. Em alguns livros, se a orientação do plano não for especificada significa que ele é paralelo à base. Em outros, significa que o plano pode estar voltado para qualquer direção. Assim, verifique o padrão que está sendo usado no contexto.

Corte através de (na forma 3D)	Cria (na seção transversal 2D)
Uma face plana	Uma aresta reta
Uma face curva	Uma aresta curva (normalmente)*
Faces paralelas	Arestas paralelas
Uma aresta	Um vértice
Um vértice	Um vértice

*Há algumas exceções nas quais você pode fazer um corte através de uma superfície curva e criar uma aresta reta. Estas são as duas exceções mais comuns:

Cortar um cilindro reto de forma perpendicular à base dele cria arestas retas.
Cortar um cone passando pelo vértice cria arestas retas.

Problema 1.1

Atual

O conjunto de seções transversais a seguir são as interceptações entre planos paralelos igualmente espaçados e a base de um sólido.

De quais tipos de sólidos as seções transversais poderiam ser?

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