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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 9
Lição 3: Volume e área de superfície- Volume de um cubo e de um prisma triangular
- Volume de um cone
- Volume e área de superfície de cilindros
- Volume de uma esfera
- Volume e área da superfície de cilindros
- Aplicação de volume de sólidos
- Volume de figuras compostas
- Aplique o volume de sólidos
- Revisão das fórmulas de volume
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Aplicação de volume de sólidos
Calcule o volume de um moedor de grãos e use a taxa dada para resolver um problema aplicado. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal?
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver a
aplicação do volume de um cone. E, para isso, temos o seguinte aqui: um funil de grãos
em forma de cone tem um raio de 10 metros e 8 metros de altura, ou seja, um cone
é uma figura mais ou menos assim, com uma base superior circular, e, aí, você tem
os lados que vão se interceptar em um único ponto. O exercício diz que esse cone tem um raio
de 10 metros, ou seja, o raio desse topo, dessa base, e uma altura que é a distância desse centro
até esse vértice, que é de 8 metros. Faltam 2 metros de altura
para que o cone seja coberto por grãos, ou seja, tem grãos até
mais ou menos aqui. Já que a distância daqui até esse centro é de 2 metros,
então, se a altura toda mede 8 metros e essa distância aqui já é 2 metros,
essa aqui é 6 metros, ou seja, tem grãos até
6 metros de altura. O exercício também diz que a tremonha irá despejar
os grãos em caixas com dimensões de 0,5 metro por 0,5 metro
por 4 metros. Se você não sabe o que é uma tremonha,
ela nada mais é do que uma peça de madeira onde se coloca o
grão para ser triturado. A tremonha despeja grãos a uma taxa
de 8 metros cúbicos por minuto. E a primeira pergunta
que eu quero lhe fazer é: Qual é o volume de grãos na tremonha?
Dê o valor aproximado em uma casa decimal. Eu sugiro que você pause o
vídeo e tente fazer isso sozinho. Vamos lá,
então. O que queremos saber é o volume
desta parte onde tem grãos. Se você não lembra, o volume de um cone
é um terço da área da base vezes a altura, e conhecemos a altura,
que é de 6 metros. Então, precisamos conhecer
apenas a área da base. E a área da base de um cone é a área
de um círculo, que é A = π r², ou seja, a nossa área vai ser V = 1/3 π r²
vezes 6, que é a altura. E a área da base, nesse caso,
é a área desse círculo aqui. Para achá-la, vamos precisar desse raio
aqui, que ainda não conhecemos, mas que podemos chamar de r.
E como podemos determiná-lo? Simples. Note que temos um triângulo menor aqui
e outro triângulo maior na parte direita do cone e, com semelhança de triângulos,
podemos descobrir esse raio. Note que esse raio é
paralelo a este aqui. Aqui, temos um ângulo reto,
e aqui também. Consequentemente, esse
ângulo é igual a esse, já que temos duas retas paralelas
cortadas por duas transversais e, com isso, os ângulos
correspondentes são congruentes. E, claro, o terceiro ângulo é
comum a ambos os triângulos. Então, pelo caso ângulo-ângulo,
esses dois triângulos são semelhantes. Por causa disso, esses dois triângulos
têm relações proporcionais interessantes. Ou seja, esse lado aqui sobre esse
é igual a essa altura sobre essa aqui. O que eu quero dizer é que se pegarmos o raio menor
e dividirmos pelo raio maior, que é 10, isso vai ser a mesma coisa que pegar
a altura menor e dividir pela altura maior. E podemos multiplicar cruzado aqui,
ficando com 8r = 60 e, dividindo ambos os
membros dessa equação por 8, vamos ter que
r = 60 dividido por 8. Dividindo 60 por 8, vamos ter
um raio igual a 7,5 metros. Com essa Informação, podemos
substituir aqui para achar o volume. Então, vai ser igual a
1/3 de “pi” (π), vezes o r2, que é
7,5 ao quadrado vezes 6. E, claro, podemos simplificar aqui por 3,
que vai dar 1, e, aqui, por 3, que vai dar 2, e, para resolver essa multiplicação,
podemos utilizar uma calculadora, já que não temos a
informação do valor de π. E, aí, vamos ficar com 7,5
ao quadrado, vezes 2, vezes π, que vai ser igual a 353
“vírgula” tudo isso aqui. Mas, como queremos aproximar
para uma casa decimal, vamos ter que esse volume vai ser
aproximadamente 353,4 metros cúbicos. Essa aqui é a resposta dessa primeira pergunta
e, na segunda, queremos saber o seguinte: Quantas caixas completas
os grãos preencherão? De novo eu sugiro que você pause o vídeo
e tente pensar nisso sozinho. Vamos lá,
então. O exercício diz que a tremonha irá despejar os grãos
em caixas com dimensões de 0,5 metro por 0,5 metro
por 0,4 metro. Isso significa que temos uma
caixa mais ou menos assim, com um comprimento igual a 0,5 metro
e uma largura igual a 0,5 metro e uma altura igual a
0,4 metro. E para descobrir o volume dessa caixa,
nós multiplicamos as três dimensões, ou seja, o volume vai ser igual a 0,5 metro
vezes 0,5 metro, vezes 0,4 metro. E essa multiplicação é igual a
0,1 metro cúbico. Para saber quantas caixas cheias de grãos nós teremos,
precisamos pegar esse volume e dividir por esse 0,1. Então, vamos ter 353,4 metros cúbicos
dividido por 0,1 metro cúbico. E, aí, podemos cancelar esse metro cúbico
com esse aqui, ficando com 3.534 caixas. Por fim, queremos saber quanto tempo levará
para preencher as caixas. Aproxime para o
minuto mais próximo. Sabemos que o volume
de grãos é esse aqui e o exercício fala que a tremonha despeja grãos
a uma taxa de 8 metros cúbicos por minuto e como queremos saber quanto tempo a caixa
vai encher também em minutos, pegamos o volume de grãos e dividimos por
8 metros cúbicos. Podemos utilizar a nossa calculadora, e, aí,
teremos 353,4 dividido por 8, que vai ser
igual a 44,175. Mas, como queremos arredondar
para o minuto mais próximo, vamos arredondar
isso para 44 minutos. Claro, aqui cancelamos esse
metro cúbico com esse aqui. Eu espero que essa aula tenha ajudado
vocês, e até a próxima, pessoal!