If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Curso: Geometria intermediária > Unidade 9

Lição 2: Métodos de seccionamento e o princípio de Cavalieri
Matemática
Geometria intermediária
Geometria dos sólidos
Métodos de seccionamento e o princípio de Cavalieri
© 2024 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Princípio de Cavalieri em 3D

Google Sala de Aula
Se duas figuras 3D tiverem a mesma altura e a mesma área de seção transversal em todos os pontos ao longo dessa altura, elas têm o mesmo volume.

Princípio de Cavalieri em 3D

Conceito-chave: Se duas figuras 3D tiverem a mesma altura e a mesma área de seção transversal em todos os pontos ao longo da altura, elas têm o mesmo volume.

Por que isso funciona

Imagine que tenhamos uma pilha de moedas (ou livros, cartas, ou qualquer coisa com planos paralelos). Se empurrarmos o topo da pilha de forma que ela se incline para o lado, alteramos o volume? É claro que não!
Duas pilhas idênticas de fichas de pôquer. As duas pilhas têm o mesmo número de fichas. Uma pilha lembra um cilindro reto, a outra tem as fichas com os centros em posições diferentes das fichas que estão abaixo.
Por HB (trabalho próprio) [CC BY-SA 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons
Podemos cortar uma figura sólida em várias camadas paralelas e depois deslizá-las de um lado para o outro sem alterar o volume.
Dois cilindros retos. O primeiro cilindro é, inicialmente, igual ao segundo cilindro. Depois, ele é cortado em cada vez mais camadas. As camadas deslizam para a esquerda e para a direita. Quando as camadas são muito finas, o primeiro cilindro se parece com um cilindro oblíquo.
Experimente você mesmo usar a Simulação do princípio de Cavalieri em um cilindro. Arraste para alterar o número de fatias e o quão inclinado deve ficar o cilindro da esquerda. Experimente aumentar o número de fatias até que o cilindro fique com um contorno suave.

Exploração de formas incomuns

Podemos usar o princípio de Cavalieri não só para prismas e cilindros. Por exemplo, também podemos deslizar as camadas de um cone de um lado para o outro sem alterar o volume.
Animação que mostra as seções transversais horizontais de um cone reto e uma segunda figura com seções transversais congruentes ao cone, mas que deslizam para os lados formando um padrão ondulado irregular.
Experimente você mesmo a Simulação de escultura de Cavalieri. Arraste o mouse sobre o cone da direita para esculpi-lo. Observe que não importa como você faça a escultura, as áreas das seções transversais das duas figuras em qualquer altura continuam iguais.
As duas figuras têm uma altura de 21 e uma área da base de 64π.
Problema 1
Qual é o volume do cone da esquerda?
  • Sua resposta deve ser
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
unidades cúbicas
Qual é o volume do cone esculpido da direita?
  • Sua resposta deve ser
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
unidades cúbicas

Princípio de Cavalieri com formas diferentes

Uma das características mais úteis do princípio de Cavalieri é que ele funciona mesmo quando as seções transversais têm formas diferentes, contanto que elas tenham áreas iguais.
Problema 2.1
Todas as figuras a seguir têm a mesma altura e a mesma área da base.
Qual das figuras a seguir têm o mesmo volume?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Quer participar da conversa?

Entrar
Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.