Volume de uma pirâmide ou cone

Uma pirâmide é a coleção de todos os pontos (inclusive) entre uma base em forma de polígono e um vértice que está em um plano diferente da base.

Outra forma de pensar em um pirâmide é como uma coleção de todas as dilatações da base com o vértice como centro de dilatação, com fatores de escala de $0$‍ até $1$‍.

Um cone é uma figura comum semelhante a uma pirâmide na qual a base é um círculo ou outra forma curva fechada em vez de um polígono. Um cone tem uma superfície lateral curva em vez de várias faces triangulares, mas quando se trata de volume, um cone e uma pirâmide são semelhantes.

A fórmula do volume $V$‍ de uma pirâmide é $V={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{área da base})(\text{altura})$‍. De onde vem essa fórmula?

Suponha que comecemos com um cubo com um lado de $1$‍ unidade de comprimento. Podemos dividir esse cubo em $3$‍ pirâmides congruentes.

A escala de uma pirâmide é feita exatamente da mesma forma que a escala do prisma que a contém. Quando fazemos a escala de uma pirâmide com volume $V_{\text{sem escala}}$‍ pelos fatores de $r$‍, $s$‍ e $t$‍ em três direções perpendiculares, então o volume $V_{\text{em escala}}$‍ da figura em escala é s $V_{\text{sem escala}}rst$‍.

Conceito-chave: O volume da pirâmide ainda é ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ do volume do prisma que a contém, mesmo depois de fazermos a escala dos dois.

Imagine que cortamos a pirâmide em camadas paralelas à base dela. Poderíamos deslizar essas camadas sem alterar o volume. Conforme o número de camadas se aproxima do infinito, nossa pirâmide remodelada fica com traços mais suaves.

O princípio de Cavalieri expressa que se não alterarmos a altura ou as áreas das seções transversais da pirâmide que são paralelas à base, o volume também não será alterado! Podemos usar a mesma forma para o volume da pirâmide, não importa para onde movamos o vértice.

Há outra aplicação realmente fascinante do princípio de Cavalieri nas pirâmides. Duas bases podem ter a mesma área e formas completamente diferentes. Se a altura e a área da base de duas pirâmides ou de sólidos forem iguais, então o volume deles também é, pois as áreas de todas as demais seções transversais paralelas à base também devem ser iguais.

Portanto, nossa fórmula $V_{\text{pirâmide}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{área da base})(\text{altura})$‍ funciona, não importa qual seja a forma 2D da base.

Outra forma que matemáticos como você usaram para mostrar que o volume de uma pirâmide é ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ do volume do prisma que a contém ou envolve é a aproximação do volume usando prismas.

Podemos modelar uma pirâmide como uma pilha de prismas, como se a construção da pirâmide fosse feita de blocos. Este modelo tem um volume maior que o volume da pirâmide. Conforme as camadas ficam mais finas, mais nos aproximamos do volume da pirâmide.

Como as figuras semelhantes a um prisma podem ter qualquer figura 2D fechada como base e podemos deslizar os prismas sem alterar o volume deles, a razão é válida para todas as figuras semelhantes a uma pirâmide, incluindo os cones.