Princípio de Cavalieri em 3D

RKA8JV - Olá meu amigo ou minha amiga, tudo com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo de hoje, vamos conversar sobre o princípio de Cavaliere em três dimensões. Para começar, vamos observar estes 2 cilindros aqui. Vamos dizer que eles têm exatamente o mesmo volume. E isso faz sentido porque, aparentemente, eles têm a mesma área de sua base e a mesma altura também. Sabendo disso, eu vou começar a cortar este cilindro esquerdo aqui e mudar um pouco as coisas. Se agora eu apenas cortar o cilindro em dois, pegar a metade inferior e movê-la um pouco, eu vou ter alterado o volume? Bem, claramente que não, eu ainda vou ter o mesmo volume. O volume combinado destas duas metades do cilindro é igual ao volume do cilindro original. Agora, e se eu cortar ainda mais? Eu vou cortar em 3 partes agora. Bem, mais uma vez, eu não alterei o volume original, ainda é o mesmo volume do cilindro original, e eu apenas cortei em 3 partes. Se eu mudá-los um pouco de lugar, eu ainda não vou estar mudando o volume, e eu poderia continuar fazendo isso, eu poderia continuar cortando em várias partes, que tudo isso ainda teria o mesmo volume original. Eu acabei de cortar em várias sessões. Eu cortei horizontalmente, e eu, agora, estou apenas mudando as coisas, mas isso não altera o volume. Eu posso fazer isso várias vezes. Isto está se parecendo com algum tipo de fichas de poker ou fichas de jogo, mas enfim, eu tinha o meu cilindro original e agora eu cortei horizontalmente em várias dessas coisas, que eu posso chamar de chips, batatas, enfim, entendeu, não é? A gente tem essas rodelinhas aí. Enfim, sem importar o nome destas coisas, elas todas juntas continuam tendo o mesmo volume do cilindro original. Um detalhe, eu posso mudar as coisas um pouco aqui também que eu vou continuar tendo o mesmo volume original. Tudo isso nos leva a uma ideia bem interessante. Uma ideia que realmente é um princípio, que é conhecido como princípio de Cavalieri. Este princípio diz que, se eu tiver duas figuras que têm a mesma altura, e em qualquer ponto ao longo dessa altura, a área da seção transversal é a mesma, então, as duas figuras vão ter o mesmo volume. Agora, como o que eu acabei de dizer, está sendo aplicado ao que está acontecendo aqui? Bem, claramente, as duas figuras têm a mesma altura, e em qualquer ponto, onde quer que eu faça os cortes, ao comparar o mesmo ponto com este cilindro original, a área do meu corte transversal vai ter a mesma área deste cilindro, então, isso atende ao princípio de Cavaliere. O princípio de Cavaliere não tem nada de exótico, já que isso vem direto do bom senso. Eu posso apenas fazer mais cortes como este, e até mesmo ter um cilindro inclinado como este que você está vendo, que continua tendo o mesmo volume que o nosso cilindro original. Quando eu altero assim, o volume não está sendo alterado, e isso não é válido apenas para cilindros. Eu poderia usar exatamente o mesmo argumento com alguma forma de prisma, e aí, mais uma vez, eles vão ter o mesmo volume. Eu poderia mudar, eu poderia fazer um corte aqui no esquerdo ao meio e mudar ao redor, mas isso não muda o seu volume. Eu poderia cortar mais e mais e mudá-los de lugar, ainda assim, isso não altera o volume. Então, o princípio de Cavaliere parece fazer muito sentido aqui. Se eu tiver duas figuras que têm a mesma altura e em qualquer ponto ao longo dessa altura a área da seção transversal é a mesma, logo, essas figuras possuem o mesmo volume. Eu também poderia fazer isso com coisas interessantes, como por exemplo uma pirâmide. Estas duas pirâmides têm o mesmo volume. Sabendo disso, eu poderia cortar a pirâmide da esquerda na metade de sua altura, e deslocar a base assim. Isso não vai alterar o seu volume. Eu posso continuar fazendo isso, mais e mais cortes. Mas, pelo fato destas figuras terem a mesma altura, e em qualquer ponto dessa altura, a área da seção transversal é a mesma, as figuras terão o mesmo volume. Um detalhe interessante é que isso é bem intuitivo. Podemos até mesmo ter um caso em que pirâmide vai ser distorcida. Não importa o quanto a gente distorça, teremos o mesmo volume que a nossa pirâmide original, porque eles têm a mesma altura e a área da seção transversal em qualquer ponto da altura vai ser a mesma. Podemos realmente fazer isso com qualquer figura. Por exemplo, estas esferas têm o mesmo volume. Eu poderia cortar a esfera aqui da esquerda ao meio, exatamente na metade da altura, e aí deslocar uma parte assim. Obviamente, eu não estou mudando volume. E novamente, eu poderia fazer mais e mais cortes. Claramente ainda teria o mesmo volume. Isso atende ao princípio de Cavaliere, porque eles têm a mesma altura e a seção transversal em qualquer ponto ao longo dessa altura vai ser a mesma. Então, embora eu possa cortar isto e deformar assim, parecendo até mesmo um tipo diferente de objeto, ainda teremos a mesma altura e seções transversais em qualquer ponto tendo a mesma área. Sendo assim, teremos o mesmo volume. É muito útil saber isso, e não apenas para saber o princípio, isso vai ser importante em diversos momentos. Enfim, eu espero que este vídeo te ajude a ganhar um pouco mais de intuição para essa ideia de volume e o princípio de Cavaliere. Aproveitando o momento, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!