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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 9
Lição 2: Métodos de seccionamento e o princípio de Cavalieri- Princípio de Cavalieri em 2D
- Princípio de Cavalieri em 3D
- Princípio de Cavalieri em 3D
- Aplique o princípio de Cavalieri
- Intuição sobre volume de pirâmides
- Volume de uma pirâmide ou cone
- Intuição sobre volume de cones
- Uso de volumes relacionados
- Use volumes relacionados
- Volume de prismas e pirâmides
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Uso de volumes relacionados
Use volumes relacionados (usando o volume de uma figura para determinar o volume da outra). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exercício
sobre volumes relacionados. Observe que aqui nós temos algumas afirmações
que a gente precisa levar em consideração. A primeira, por exemplo, diz que todas
as seguintes figuras têm a mesma altura. A segunda diz que todas as figuras,
com exceção da B, têm bases quadradas. Então, esta é uma base quadrada, isto é um quadrado, isto é um quadrado e isto é um quadrado. Aqui, agora, diz que todas as figuras,
com exceção da C, são prismas. Isso mesmo! Afinal, C é uma pirâmide. A quarta afirmação diz que todas as figuras,
exceto a D, não estão distorcidas. Você pode ver a figura D, na parte superior, que ela está um pouquinho distorcida. Ou você pode ver essa figura como oblíqua. A última afirmação diz que todas as figuras,
com exceção da E, têm a mesma área de base. A base da figura E é uma dilatação
da base da figura A por um fator de escala de 1,5. A questão faz a seguinte pergunta: se a figura A tem um volume de 28 cm³, quais são os volumes das outras figuras? Pause este vídeo e tente resolver o problema. Ok, vamos fazer isso juntos agora. Vivemos algumas informações sobre as bases
e as alturas destas figuras. E, com exceção da figura E, todas possuem
a mesma área de base. Também foi informado para a gente que
todas as figuras possuem a mesma altura. Bem, uma forma de pensar sobre o volume é multiplicar a base com a altura. Para a figura A, é muito simples. A gente consegue calcular o volume
apenas fazendo isso. Nós vamos chamar esta área aqui de "b", que é a área da base desta figura. E a altura, que está bem aqui,
nós vamos chamar de "h". Nós sabemos que a área da base vezes
a altura vai ser o volume. Portanto, podemos dizer que,
para a figura A, o volume vai ser a base vezes a altura, que é igual a 28 cm³. Certo? Agora, o que está acontecendo
com a figura B? A figura B é um cilindro. E como calculamos o volume
de um cilindro? Também vai ser a área da base
vezes a altura. e, se você está se perguntando como é possível que seja a mesma expressão
que usamos para o prisma retangular aqui, na verdade, isso vem do princípio de Cavalieri. Se as figuras têm a mesma altura e se em qualquer ponto ao longo da altura
elas têm a mesma área transversal, então, você terá o mesmo volume. Então, este volume aqui também vai ser
igual à área da base vezes a altura. Vamos colocar aqui que esta é a figura A
e esta é a figura B. Também vamos colocar dois pontos aqui: a figura B vai ter o volume também sendo
igual à área da base vezes a altura, que é igual a 28 cm³, também. Deixe-me ser bem claro aqui: este volume
é igual a isto. Agora, o que podemos dizer da figura C?
Qual será o volume? Qual é a fórmula para calcular o volume
de uma pirâmide? Bem, nós temos uma leve intuição
e já demonstramos isso em outros vídeos. Sabemos que, para a pirâmide, o volume vai ser igual a 1/3 vezes a área
da base vezes a altura. E sabemos que tem a mesma área de base, assim como estas outras figuras aqui, e também tem a mesma altura. Como sabemos que a área da base vezes
a altura é 28 cm³, o volume desta pirâmide vai ser 1/3 disto, ou seja, 1/3 vezes 28 cm³, que poderíamos reescrever como 28/3 cm³. Você também pode escrever isso
como sendo 9 e 1/3 cm ³. Isto é o volume para a figura C. Agora vamos pensar sobre a figura D. Eu vou fazer isso bem aqui. Para este prisma oblíquo,
eu acho que poderíamos dizer que vamos usar a mesma ideia que vem
do princípio de Cavalieri novamente. Sendo assim, teremos a mesma fórmula
para calcular o volume que usamos na figura A, ou seja, o volume é igual à área da base
vezes a altura. Eu posso escrever que o volume é igual
à área da base vezes a altura, e nós já sabemos quanto é. O problema falou isso. A área da base vezes a altura vai ser
igual à da figura A, ou seja, vai ter 28 cm³. Agora, vamos para a figura E. Isso é interessante, porque tem
uma área de base diferente. Então, qual será a área da base? O problema falou que a área
da base da figura E é uma dilatação da base da figura A por um fator de escala de 1,5. E as duas bases são quadradas. A figura A tem uma base
com dimensões "x" e "x". Então, a base da figura E vai ter
dimensões 1,5x e 1,5x. Sendo assim, a área da base da figura E vai ser igual a 1,5x vezes 1,5x. Outra forma de pensar sobre isso, deixe-me fazer aqui onde tem
um espaço livre, é que nós sabemos que "b"
é uma área da base da figura A. Isso é igual a "x" vezes "x". Qual é área da figura E, então? Bem, é 1,5x vezes 1,5x, ou 1,5x², que é a mesma coisa que... 1,5² é 2,25. Então, vai ser isto vezes x². Sabemos que x², ou "x" vezes "x", é igual a "b", que é igual à área da base original
em todas estas outras figuras. Então, a área aqui, esta área bem aqui, é igual a 2,25 vezes "b". Portanto, 2,25b é a área da base da figura E. Sabendo disso, qual é o volume desta figura? O volume é igual à área da base, que é 2,25 vezes a área das bases
de todas as outras figuras, vezes a altura, que é a mesma
das outras figuras, ou seja, "h". Sabemos quanto é "b" vezes "h", não é? Não se esqueça que "b" é a área
da base das outras figuras. Neste caso, usamos a área da base
da figura A. E nós sabemos que "b" vezes "h"
tem 28 cm³. Então, o volume da figura E
vai ser igual a 2,25 vezes 28 cm³. Eu não tenho calculadora aqui
na minha frente e também acho que a gente consegue
fazer isso manualmente, mas eu vou deixar este cálculo aqui
para você como um exercício. O mais importante aqui é que você
entenda o ponto geral nisso tudo. Basta multiplicar o 28 cm² por 2,25 para, assim, obter o volume da figura E. Isso porque, com exceção da altura, essa figura foi dilatada com um fator
de escala 1,5. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho que conversamos aqui e, mais uma vez, quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!