Uso de volumes relacionados

RKA2G - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exercício sobre volumes relacionados. Observe que aqui nós temos algumas afirmações que a gente precisa levar em consideração. A primeira, por exemplo, diz que todas as seguintes figuras têm a mesma altura. A segunda diz que todas as figuras, com exceção da B, têm bases quadradas. Então, esta é uma base quadrada, isto é um quadrado, isto é um quadrado e isto é um quadrado. Aqui, agora, diz que todas as figuras, com exceção da C, são prismas. Isso mesmo! Afinal, C é uma pirâmide. A quarta afirmação diz que todas as figuras, exceto a D, não estão distorcidas. Você pode ver a figura D, na parte superior, que ela está um pouquinho distorcida. Ou você pode ver essa figura como oblíqua. A última afirmação diz que todas as figuras, com exceção da E, têm a mesma área de base. A base da figura E é uma dilatação da base da figura A por um fator de escala de 1,5. A questão faz a seguinte pergunta: se a figura A tem um volume de 28 cm³, quais são os volumes das outras figuras? Pause este vídeo e tente resolver o problema. Ok, vamos fazer isso juntos agora. Vivemos algumas informações sobre as bases e as alturas destas figuras. E, com exceção da figura E, todas possuem a mesma área de base. Também foi informado para a gente que todas as figuras possuem a mesma altura. Bem, uma forma de pensar sobre o volume é multiplicar a base com a altura. Para a figura A, é muito simples. A gente consegue calcular o volume apenas fazendo isso. Nós vamos chamar esta área aqui de "b", que é a área da base desta figura. E a altura, que está bem aqui, nós vamos chamar de "h". Nós sabemos que a área da base vezes a altura vai ser o volume. Portanto, podemos dizer que, para a figura A, o volume vai ser a base vezes a altura, que é igual a 28 cm³. Certo? Agora, o que está acontecendo com a figura B? A figura B é um cilindro. E como calculamos o volume de um cilindro? Também vai ser a área da base vezes a altura. e, se você está se perguntando como é possível que seja a mesma expressão que usamos para o prisma retangular aqui, na verdade, isso vem do princípio de Cavalieri. Se as figuras têm a mesma altura e se em qualquer ponto ao longo da altura elas têm a mesma área transversal, então, você terá o mesmo volume. Então, este volume aqui também vai ser igual à área da base vezes a altura. Vamos colocar aqui que esta é a figura A e esta é a figura B. Também vamos colocar dois pontos aqui: a figura B vai ter o volume também sendo igual à área da base vezes a altura, que é igual a 28 cm³, também. Deixe-me ser bem claro aqui: este volume é igual a isto. Agora, o que podemos dizer da figura C? Qual será o volume? Qual é a fórmula para calcular o volume de uma pirâmide? Bem, nós temos uma leve intuição e já demonstramos isso em outros vídeos. Sabemos que, para a pirâmide, o volume vai ser igual a 1/3 vezes a área da base vezes a altura. E sabemos que tem a mesma área de base, assim como estas outras figuras aqui, e também tem a mesma altura. Como sabemos que a área da base vezes a altura é 28 cm³, o volume desta pirâmide vai ser 1/3 disto, ou seja, 1/3 vezes 28 cm³, que poderíamos reescrever como 28/3 cm³. Você também pode escrever isso como sendo 9 e 1/3 cm ³. Isto é o volume para a figura C. Agora vamos pensar sobre a figura D. Eu vou fazer isso bem aqui. Para este prisma oblíquo, eu acho que poderíamos dizer que vamos usar a mesma ideia que vem do princípio de Cavalieri novamente. Sendo assim, teremos a mesma fórmula para calcular o volume que usamos na figura A, ou seja, o volume é igual à área da base vezes a altura. Eu posso escrever que o volume é igual à área da base vezes a altura, e nós já sabemos quanto é. O problema falou isso. A área da base vezes a altura vai ser igual à da figura A, ou seja, vai ter 28 cm³. Agora, vamos para a figura E. Isso é interessante, porque tem uma área de base diferente. Então, qual será a área da base? O problema falou que a área da base da figura E é uma dilatação da base da figura A por um fator de escala de 1,5. E as duas bases são quadradas. A figura A tem uma base com dimensões "x" e "x". Então, a base da figura E vai ter dimensões 1,5x e 1,5x. Sendo assim, a área da base da figura E vai ser igual a 1,5x vezes 1,5x. Outra forma de pensar sobre isso, deixe-me fazer aqui onde tem um espaço livre, é que nós sabemos que "b" é uma área da base da figura A. Isso é igual a "x" vezes "x". Qual é área da figura E, então? Bem, é 1,5x vezes 1,5x, ou 1,5x², que é a mesma coisa que... 1,5² é 2,25. Então, vai ser isto vezes x². Sabemos que x², ou "x" vezes "x", é igual a "b", que é igual à área da base original em todas estas outras figuras. Então, a área aqui, esta área bem aqui, é igual a 2,25 vezes "b". Portanto, 2,25b é a área da base da figura E. Sabendo disso, qual é o volume desta figura? O volume é igual à área da base, que é 2,25 vezes a área das bases de todas as outras figuras, vezes a altura, que é a mesma das outras figuras, ou seja, "h". Sabemos quanto é "b" vezes "h", não é? Não se esqueça que "b" é a área da base das outras figuras. Neste caso, usamos a área da base da figura A. E nós sabemos que "b" vezes "h" tem 28 cm³. Então, o volume da figura E vai ser igual a 2,25 vezes 28 cm³. Eu não tenho calculadora aqui na minha frente e também acho que a gente consegue fazer isso manualmente, mas eu vou deixar este cálculo aqui para você como um exercício. O mais importante aqui é que você entenda o ponto geral nisso tudo. Basta multiplicar o 28 cm² por 2,25 para, assim, obter o volume da figura E. Isso porque, com exceção da altura, essa figura foi dilatada com um fator de escala 1,5. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e, mais uma vez, quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!