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Intuição sobre volume de pirâmides

O volume de uma pirâmide é uma fração do volume do prisma retangular que a envolve. Podemos descobrir qual é essa fração cortando um prisma em várias pirâmides. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, eu vou conversar com você sobre o volume de uma pirâmide. Bem, você já deve estar familiarizado ou familiarizada com a fórmula para calcular o volume de uma pirâmide. Mas, o objetivo deste vídeo é nos dar uma intuição ou nos dar alguns argumentos quanto a por que essa é a fórmula para o volume de uma pirâmide. Então, vamos começar desenhando uma pirâmide. Eu vou desenhar uma com a base retangular, mas, dependendo de como olhamos para a fórmula poderíamos ter uma versão mais geral. Bem, uma pirâmide se parece com isso. E você pode ter uma noção sobre qual é a fórmula para calcular o volume de uma pirâmide, observando isto aqui que eu vou mostrar agora. Se essa aqui for a dimensão "x", essa dimensão bem aqui, o comprimento é aqui, é "y". Temos aqui a altura dessa pirâmide. E se você fosse do centro, direto para o topo, ou se fosse medir essa distância bem aqui, que é a altura da pirâmide, teremos o comprimento "z". Você pode dizer que, se eu estou lidando com três dimensões, talvez, multiplicando as três dimensões juntas, eu encontre o volume dessa pirâmide. Mas, se você apenas multiplicar "x" com "y" e com "z", a gente vai ter apenas o volume de um prisma retangular que contém essa pirâmide. Isso daria a você o volume dessa coisa, que é claramente maior, que tem um volume maior do que a própria pirâmide. A pirâmide é totalmente contida dentro dele. Porém, isso é um bom caminho, já que, talvez, o volume dessa pirâmide seja igual a "x" vezes "y" vezes "z", vezes alguma constante. O que nós vamos fazer aqui, neste vídeo, é buscar um argumento, que me diga qual deve ser essa constante, para que a gente consiga obter o volume dessa pirâmide. Assumindo, claro, que a fórmula para encontrar o volume dessa pirâmide possui essa estrutura. Para nos ajudar com isso, vamos desenhar um prisma retangular maior, e dividi-lo em 6 pirâmides, que compõem completamente o volume do prisma retangular. Então, primeiro, vamos imaginar uma pirâmide que pareça algo assim. Onde a sua largura é "x", sua profundidade é "y". Então, essa poderia ser a sua base. E aí, sua altura está na metade do prisma retangular. Portanto, como o prisma retangular tem uma altura "z", a altura desta pirâmide vai ser z/2. Agora, qual vai ser o volume da pirâmide que acabamos de ver aqui? Bem, este valor vai ser igual a alguma constante "k" vezes "x", vezes "y", vezes, não é "z", vai ser vezes a altura da pirâmide que, neste caso, é z/2. Aliás, na verdade, podemos escrever dessa forma: "x" vezes "y" vezes "z", tudo sobre 2. Agora, eu posso construir outra pirâmide que tenha exatamente as mesmas dimensões. Se eu invertesse essa pirâmide existente em seu topo, ela ficaria mais ou menos assim. Essa pirâmide também tem dimensões de "x" na largura, a profundidade é "y" e a altura é z/2. Portanto, o seu volume também seria este. Agora, qual é o volume combinado dessas duas pirâmides? Bem, é apenas isso aqui vezes 2. Então, o volume combinado dessas pirâmides, bem, deixe-me desenhar aqui uma forma que seja dessa pirâmide. Então, essas duas pirâmides se parecem mais ou menos com isso. E aí, no caso, vamos ter duas dessas pirâmides. Então, duas vezes o volume delas vai ser igual a duas vezes isso. Então, a gente vai ter aqui "k" vezes "xyz". Agora, temos mais pirâmides para lidar. Como, por exemplo, essa pirâmide que eu tenho bem aqui. Onde essa face é a sua base. Então, se eu tentar desenhar essa pirâmide, ela vai se parecer com algo assim, mais ou menos, deste jeito. Agora, qual será o volume? O volume é igual a "k" vezes sua base, que é "yz". Então, temos "kyz". E qual é a sua altura? Bem, a sua altura será a metade de "x". Então, essa altura aqui está na metade de "x". Então, temos que o volume é "k" vezes "y", vezes "z", vezes x/2. Ou poderia dizer apenas que é "k" vezes "y", vezes "z", vezes "x", tudo isso dividido por 2. Agora, eu tenho outra pirâmide que tem exatamente as mesmas dimensões. Está aqui. Se eu vou tentar desenhar na outra face uma pirâmide igual à que acabamos de ver. Ou seja, se virarmos essa aqui, teremos uma pirâmide com, exatamente, as mesmas dimensões. Bem, é uma forma de pensar sobre isso. Sendo assim, temos duas pirâmides que se parecem com isso aqui, então, eu tenho essas duas pirâmides aqui. Então, qual vai ser o volume dessas duas pirâmides juntas? Será apenas duas vezes essa expressão. Portanto, será "k" vezes "xyz". Ok? Por último, mas não menos importante, temos mais duas pirâmides. Nós temos essa aqui, que tem, nesta face, uma base. Então, essa é a sua base, e se isso fosse transparente, você seria capaz de ver onde eu estou desenhando, bem aqui. E aí, você tem outra pirâmide na face oposta também. Bem ali, do outro lado, como se a gente invertesse essa aqui. E assim, pelo mesmo argumento usado antes, deixe-me desenhar aqui. Nós vamos ter duas dessas pirâmides. Então, vai ser este desenho vezes 2. Qual vai ser o volume de cada uma dessas pirâmides? Cada uma delas vai ter sua base sendo "xz". Então, teremos "k" vezes "xz". E qual vai ser a altura dessas pirâmides? Bem, cada uma delas tem uma altura igual y/2. Então, é isso vez 2, porque eu tenho duas dessas pirâmides. Eu vou multiplicar por 2. Os dois 2 acabam se cancelando e eu fico apenas com "k" vezes "xyz". Portanto, o volume dessas duas pirâmides é "k" vezes "xyz". Agora, uma das coisas interessantes que acabamos de descobrir nisso tudo, é que por mais que as dimensões dessas pirâmides sejam diferentes, elas possuem o mesmo o volume. Isso é realmente muito interessante. Sendo assim, ao somarmos os volumes de todas as pirâmides aqui e usar essa fórmula para expressar cada um dos volumes, podemos adicionar essas fórmulas. E aí, teremos o volume de todo o prisma retangular. Utilizando essa ideia, talvez a gente consiga descobrir o valor de "k". Então, vamos fazer isso. O volume de todo o prisma retangular é "xyz". "x" vezes "y", vezes "z", e isso tem que ser igual à soma desses três volumes. Então, isso é igual a kxyz + kxyz + kxyz. Ou, podemos colocar aqui apenas 3 vezes "kxyz". Tudo que eu fiz foi somar o volume de todas essas pirâmides. Ok! Como podemos encontrar o valor de "k"? Bem, podemos dividir ambos os lados por "3 vezes xyz". E aí, vamos conseguir resolver para "k". Então, dividimos por 3 vezes "xyz" aqui do lado esquerdo. E aqui do lado direito também, a gente vai ter o quê? A gente cancela praticamente todo mundo e ficamos apenas com 1/3 aqui do lado esquerdo e com o "k" aqui do lado direito. Sendo assim, chegamos à conclusão que k = 1/3. E aí, está o nosso argumento do porquê o volume da nossa pirâmide é 1/3, vezes as dimensões da base, vezes a altura. A gente pode ver escrito dessa forma aqui também. O volume é igual a 1/3, vezes, se "x" vezes "y" é a área da base, nós teremos isso vezes a área da base, vezes altura, que neste caso é "z". Mas, também, podemos colocar o "h" para representar a altura. Você vai ver, em muitos momentos, a fórmula para calcular o volume da pirâmide sendo escrita dessa forma, mas as duas formas são equivalentes. Porém, o 1/3 sempre tem que aparecer. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço. E até a próxima!