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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 9
Lição 2: Métodos de seccionamento e o princípio de Cavalieri- Princípio de Cavalieri em 2D
- Princípio de Cavalieri em 3D
- Princípio de Cavalieri em 3D
- Aplique o princípio de Cavalieri
- Intuição sobre volume de pirâmides
- Volume de uma pirâmide ou cone
- Intuição sobre volume de cones
- Uso de volumes relacionados
- Use volumes relacionados
- Volume de prismas e pirâmides
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Intuição sobre volume de cones
Use o princípio de Cavalieri para estabelecer que a fórmula do volume de um cone é a mesma fórmula que nos dá o volume de uma pirâmide (1/3 * área da base * altura). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais
um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos conversar sobre
o volume de um cone. Para começar a nossa conversa, observe estas duas figuras tridimensionais
que eu coloquei aqui. Eu tenho uma pirâmide aqui, à esquerda, e tenho um cone aqui, à direita. Nós sabemos algumas coisas sobre
estas duas figuras. Em primeiro lugar, elas têm exatamente
a mesma altura. Portanto, este comprimento, bem aqui, é "h" e este comprimento, indo no topo ao centro
da base aqui, também é "h". Também sabemos que as áreas
das bases são iguais. Por exemplo, nesta pirâmide, à esquerda, a área da base é igual a "x" vezes... Vamos supor que seja um quadrado,
então, vai ser "x" vezes "x". A área aqui vai ser igual a x². Agora, nesta outra figura aqui, no cone, temos uma base com área igual a π
vezes "r" ao quadrado. Eu falei com você o quê? Eu disse que as duas áreas são iguais, não é? Então, também sabemos que x² = πr². Agora, a minha pergunta para você é: estas duas figuras têm o mesmo volume,
ou os volumes são diferentes? E, se eles forem diferentes,
qual tem um volume maior? Pause este vídeo e tente pensar
um pouco sobre isso. Tudo bem, vamos pensar nisso juntos agora. Dado que estamos falando sobre duas
figuras que têm a mesma altura e pelo menos a mesma área da base, você pode estar pensando que talvez o princípio
de Cavalieri possa ser útil neste caso. Só para relembrar um pouco: o princípio de Cavalieri nos diz que,
quando você tiver duas figuras (e, como estamos pensando em três dimensões,
é a versão tridimensional do princípio). Se você tem duas figuras que têm
a mesma altura e, em qualquer ponto ao longo dessa altura,
a área da seção transversal vai ser a mesma, então, as figuras vão ter o mesmo volume. Sabendo disso, o que nós precisamos
descobrir aqui é se é verdade que,
em qualquer ponto da altura, estas figuras vão ter a mesma área transversal. Para pensar sobre isso, vamos escolher
um ponto arbitrário ao longo dessa altura. Só para simplificar, vamos escolher
no meio da altura, embora a gente pudesse fazer essa análise
em qualquer ponto ao longo da altura, ok? Então, vamos pegar o ponto
na metade da altura aqui e na metade da altura aqui. Esta distância aqui é h/2, e esta distância aqui também é h/2, já que a altura total é "h". O que podemos fazer é construir algo
que se pareça com triângulos semelhantes. E podemos até mesmo provar para nós mesmos
que estes são triângulos semelhantes. Então, vamos construí-los bem aqui. Nós sabemos que eles são semelhantes porque
esta linha vai ser paralela a esta linha e que esta linha é paralela a esta outra, que neste caso é o raio. E como sabemos disso? Estamos pegando áreas transversais
que são paralelas à base, que são paralelas à superfície em que
estas figuras estão apoiadas. Então, em qualquer caso, estas seções transversais vão ser paralelas. Estas linhas que se apoiam
nestas seções transversais, ou que se apoiam nas bases,
também serão paralelas. Como estas são linhas paralelas, este ângulo
é congruente com este ângulo. E este ângulo é congruente com este ângulo. Porque estes são transversais,
através de linhas paralelas, e estes são apenas ângulos correspondentes. E claro, eles compartilham
este ângulo em comum. E aqui você vê, muito claramente,
um ângulo reto. Este ângulo é congruente com aquele ângulo. Então, os dois triângulos compartilham isso. Este triângulo menor, em qualquer caso,
é semelhante ao triângulo maior. E o que isso nos ajuda a perceber é que a proporção entre os lados
correspondentes vai ser a mesma. Então, se este lado for h/2,
e toda a altura é "h", então, isto vai ter metade de toda a altura. Logo, isto nos diz que este lado
vai ser metade de "r". Então, aqui teremos r/2. E deste lado aqui, pelo mesmo
argumento, vai ser x/2. Sabendo disso, qual é a área transversal aqui? Esta área vai ser (x/2)², que é igual a x²/4, que é 1/4 da área da base. E aqui? Este corte transversal aqui vai ter
uma área igual a π vezes (r/2)², que é a mesma coisa que πr²/4. Ou poderíamos dizer que é 1/4πr², que é a mesma coisa que 1/4 da área da base. A área da base é πr² e aqui temos 1/4 vezes πr². Então, isto vai ser igual a 1/4 da área da base. Mas já falamos que estas áreas
são iguais, não é? Então, acabamos de ver que a área
da seção transversal, naquele ponto da altura de ambas
as figuras, é a mesma. E você poderia fazer isso na posição 1/4
da altura, 3/4 da altura, etc. Você vai obter exatamente a mesma coisa. Você vai ter dois triângulos semelhantes e vai ver que eles terão as mesmas áreas, as mesmas áreas transversais
naquele ponto da altura. E vimos, pelo princípio de Cavalieri
aplicado a três dimensões, que estas duas figuras têm o mesmo volume. O que é interessante sobre isso é que nos permite obter uma fórmula
para o volume de uma pirâmide. Aprendemos que o volume
de uma pirâmide é igual a 1/3 vezes a área da base,
vezes a altura. Além disso, também podemos dizer que
este cone tem exatamente o mesmo volume. O volume dele também é igual a 1/3 vezes
a área da base vezes a altura, Porque, em ambos os casos, a área da base
é a mesma e a altura é a mesma. E sabemos que eles têm o mesmo volume. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido
tudo o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!