Exemplo de definições geométricas

RKA - Uma coisa que a geometria faz bem é definir o mundo em que nós vivemos. Então, nós temos que tomar muito cuidado quando fizermos definições geométricas, pois elas podem afetar toda a nossa vida, não é? Pois elas afetam diretamente o conhecimento que nós temos do nosso mundo. Então, vamos fazer alguns exercícios que tratam de definições geométricas. E aqui, você vai fingir que é um professor e vai analisar as definições que alguns alunos dão e dar o seu comentário dessas definições: se estão certas, parcialmente certas ou se estão erradas. Vamos lá, você vem comigo? Vamos lá, então. A primeira definição é o seguinte: três estudantes tentaram definir o que significa duas retas serem paralelas. Você consegue relacionar os comentários do professor às definições? Então, você é o professor. Vamos lá. A definição da Daniela foi a seguinte: "Duas retas são paralelas se elas forem diferentes e uma possa ser transladada sobre a outra". Essa definição da Daniela me parece muito interessante, até porque quando você translada uma coisa, você não muda o ângulo daquela coisa, você não faz uma rotação. Você não vai mudar, por exemplo, a direção em que aquela reta se encontra, você não vai mudar o ângulo que ela está fazendo. Então, você vai simplesmente movimentar uma sobre a outra. E se elas se encaixarem exatamente uma sobre a outra, se todos os pontos de uma reta ficarem sobre os pontos da outra, elas seriam retas paralelas, sim ou não? Então, posso colocar aqui: "Yahoo! Boa definição", para a Daniela. Vamos analisar, vamos ver se tem alguma definição melhor. O Ivo diz o seguinte: "Duas retas são paralelas se elas estiverem próximas uma da outra, mas não se interceptarem". É... Está certa no sentido de não se interceptarem. Agora, as retas não precisam estar próximas para serem paralelas. Elas podem estar longe, muito longe, infinitamente longe uma da outra: basta que elas não se interceptem para serem paralelas. Então, o Ivo deu uma definição parcialmente correta. Vou colocar aqui: "Parte da sua definição está correta, mas a outra parte não está. Retas paralelas não precisam estar próximas umas das outras". Tranquilo? Vamos ver a definição da Carla: "Duas retas paralelas somente são paralelas se elas não forem perpendiculares". Nada a ver. Duas retas podem se interceptar sem que formem um ângulo reto, concorda comigo? Então, duas retas paralelas somente são paralelas se elas não se interceptarem de forma alguma. Então, "Desculpe, sua definição está errada, está incorreta". Vamos verificar a resposta. Acertamos. Vamos para o próximo exercício, vamos fazer mais alguns. Vamos fazer este. A reta "AB" e a reta "CD" se interceptam no ponto "O", conforme mostrado abaixo. Então, está aqui o esquema. Selecione a afirmação mais correta e precisa sobre as retas perpendiculares. Vamos analisar. "A reta "AB" é perpendicular a "CD" se a intersecção das duas retas é tal que o ângulo "AOD" tenha a mesma medida que o ângulo "BOC". Então, "AOD" precisa ter a mesma medida de "BOC". Isso me parece legal porque, para eles terem a mesma medida, significa que eles teriam um ângulo de 90 graus, já que em volta daqui, ou toda essa volta completa, teria 360 graus. Essa definição me parece legal, só se esses ângulos forem de 90 graus. Eu não tenho certeza de que esses ângulos sejam de 90 graus, pois pode muito bem ser que essa reta "AB" seja rotacionada um pouquinho e esses ângulos, por serem opostos pelo vértice, sempre terão a mesma medida. Então, essa primeira afirmação está equivocada. Vamos ver a segunda. A reta "AB" é perpendicular a "CD" se as duas retas nunca se encontrarem. Errado. Esse caso é a definição de retas paralelas, como acabamos de ver, não é? Na perpendicular, elas vão se encontrar em um ponto. E a reta "AB" é perpendicular a "CD" se a intersecção das duas retas é tal que o ângulo "AOD" seja um ângulo reto. Isso aqui, de fato, é. Porque aqui, eu vou ter um ângulo reto, aqui também. E se esse ângulo "AOD" é reto, tem 90 graus, esse ângulo "AOC" também vai ter 90 graus. E nós completamos uma meia-volta. Então, essa reta "AB" vai ser perfeitamente perpendicular à reta "CD". De fato, é essa última aqui. Vamos verificar. Correta. Vamos fazer mais uma, que agora estou animado com isso. Três alunos tentaram definir o objeto geométrico chamado ângulo. Olha aí. Você pode relacionar os comentários do professor às definições? Então, novamente, você vai virar o professor. Vamos analisar. Aqui está a figura. Vamos ver, então, os comentários. Definição de um ângulo. Definição do Eduardo: "Um ângulo são duas semirretas, como "VA" e "VB" (vamos ver, "VA" e "VB"), que compartilham um vértice em comum, o qual, nesse caso, seria o ponto "V". Você percebe que ele não fala em nenhum momento sobre essa abertura de "VB" em relação a "VA"? Então, vamos verificar a definição do Eduardo. Um ângulo são duas semirretas, como "VA" e "VB". Está aqui, "VA" e "VB". Que compartilham um vértice em comum, o qual, neste caso, seria o ponto "V". Então, seriam essas duas semirretas que têm um vértice em comum. É, a definição de Eduardo está bem legal, está falando exatamente do que é um ângulo, que é um ponto de encontro de duas semirretas, esse vértice em comum. Então, a gente forma um ângulo dessa maneira. Vou colocar aqui que a definição de Eduardo está correta! "A sua perspicácia continua a me impressionar, Eduardo". Agora, vamos ver a do Olavo. "Um ângulo é a quantidade de espaço entre duas semirretas. Por exemplo, o ângulo "AVB" é a quantidade de espaço entre a semirreta "VA" e a semirreta "VB"." Bom, nesse caso, ele está falando da medida desse ângulo, a quantidade de espaço aqui, não é? A abertura da semirreta "VA" em relação à semirreta "VB". Eu acho que ele está pensando na medida de um ângulo. Já está até aqui, no lugar certo. Agora, vamos ver a definição do Carlos, aqui embaixo. "A intersecção de duas retas, como "AC" e "BD". "AC" e "BD", ele está falando que isso é ângulo. Não, a intersecção não tem nada a ver. A intersecção dessas duas retas ser um ângulo, não. Então, desculpe, Carlos está incorreto. Vamos verificar se nós acertamos. Claro, correto. Vamos fazer mais um que eu estou empolgado. Três alunos tentaram definir o que é um segmento de reta. Está aqui o segmento de reta "PQ". Então, seriam todos esses pontinhos aqui, que estão entre o "P" e o "Q", incluindo os dois. Vamos verificar o que cada pessoa fala. "Você pode associar os comentários do professor às definições?" Novamente, você é o professor. Vamos lá. Definição do segmento de reta da Isa: "Todos os pontos na reta com P e Q, que se estende infinitamente em ambas as direções". "Infinitamente em ambas as direções" é a definição de reta, não de segmento de reta. O segmento de reta não é "infinitamente para ambas as direções", ele tem um início e um fim aqui, não é? Então, eu posso dizer que a Isa está falando de reta, vamos ver. "Você está pensando em uma reta ao invés de um segmento de reta?" É isso aí, ela está pensando em uma reta. Então, coloquei isso daqui. Vamos ver o Hélio. "A distância exata de "P" a "Q"." Distância de "P" até "Q". Ele não está falando o que é um segmento de reta, está falando da medida no segmento de reta. Então, "Isso não é o bastante. Há muito mais sobre o segmento de reta do que apenas o seu comprimento". É exatamente isso o que o Hélio está pensando. Vamos analisar o Evandro. "Os pontos P e Q, que são chamados de pontos de extremidade, e todos os pontos em uma linha reta entre os pontos P e Q." Exatamente o que eu falei, não é? Então, vão ser todos os pontinhos entre P e Q, sendo que P e Q são os pontos extremos desse segmento. Então, parabéns Evandro! Você está certo. Vamos continuar. Corretíssimo. Então, mais um só para a gente finalizar os nossos exercícios. Três alunos tentaram definir o que é um segmento de reta. Você consegue relacionar os comentários do professor às definições? Novamente, vamos lá. A definição da Rúbia: "Dois pontos, chamados de extremidades, e todos os outros pontos em uma reta entre eles". Como nós vimos anteriormente, isso aqui está certo. Então, "Fantástico! Muito bem". A definição da Sheila, agora: "Uma reta entre dois pontos". Eu diria que a Sheila até tem uma certa razão, só que não está preciso. Vamos lá. "Sua definição está, em partes, correta, mas falta precisão matemática". Exatamente o que eu falei, não é? Então, a definição da Sheila peca nesse sentido da precisão matemática. Vamos ver o Abel agora: "Todos os pontos equidistantes de algum ponto P". Ora, se eu tenho um ponto P e um montão de pontos equidistantes desse ponto P, eu vou ter um círculo, uma circunferência ou uma esfera ainda, não é? Então, é isso: "Você estava pensando em um círculo, ou quem sabe, em uma esfera?" Era nisso que estava pensando. Então, vamos verificar. Acertamos. E está bom por hoje. Essas definições geométricas foram muito interessantes. Espero que você tenha aprendido muita coisa aqui na Khan Academy. Até os próximos vídeos!