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Geometria intermediária

Curso: Geometria intermediária > Unidade 1

Lição 5: Reflexões
Matemática
Geometria intermediária
Como realizar transformações
Reflexões
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Reflexão de formas

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Aprenda a encontrar a imagem de uma reflexão dada.
Neste artigo, vamos encontrar as imagens de diferentes formas com diferentes reflexões.

O eixo de simetria

Uma reflexão é uma transformação que atua como um espelho: ela troca todos os pares de pontos que estão exatamente nos lados opostos do eixo de simetria.
O eixo de simetria pode ser definido por uma equação ou por dois pontos pelos quais ele passa.

Parte 1: reflexão de pontos

Vamos analisar um exemplo de reflexão sobre uma reta horizontal

Temos que encontrar a imagem A, prime de A, left parenthesis, minus, 6, comma, 7, right parenthesis com uma reflexão sobre y, equals, 4.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta horizontal passa pelo quatro no eixo y. Um ponto A está nas coordenadas seis negativo e sete.

Solução

Etapa 1: faça um segmento de reta perpendicular de A até o eixo de simetria e meça-o.
Como o eixo de simetria é perfeitamente horizontal, uma reta perpendicular a ele será perfeitamente vertical.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta horizontal passa pelo quatro no eixo y. Um ponto A está nas coordenadas seis negativo e sete. Uma semirreta se estende três unidades a partir do ponto A e vai até a reta tracejada.
Etapa 2: faça o segmento de reta na mesma direção e com a mesma medida.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta horizontal passa pelo quatro no eixo y. Um ponto A está nas coordenadas seis negativo e sete. Uma semirreta se estende três unidades a partir do ponto A e vai até a reta tracejada. A semirreta estende a reta tracejada em mais três unidades.
Resposta: A, prime está em left parenthesis, minus, 6, comma, 1, right parenthesis.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta horizontal passa pelo quatro no eixo y. Um ponto A está nas coordenadas seis negativo e sete. Uma semirreta se estende três unidades a partir do ponto A e vai até a reta tracejada. A semirreta estende a reta tracejada em mais três unidades e aponta para a imagem de um ponto A linha que está nas coordenadas seis negativo e um.

Sua vez!

Exercício

Desenhe a imagem de B, left parenthesis, 7, comma, minus, 4, right parenthesis com uma reflexão em x, equals, 2.

Desafio

Qual é a imagem de left parenthesis, minus, 25, comma, minus, 33, right parenthesis com uma reflexão na reta y, equals, 0?
left parenthesis
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Vamos analisar um exemplo de reflexão sobre uma reta diagonal

Temos que encontrar a imagem C, prime de C, left parenthesis, minus, 2, comma, 9, right parenthesis com uma reflexão em y, equals, 1, minus, x.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para baixo da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e um e um e zero. Um ponto C está na coordenada dois negativo e nove.

Solução

Etapa 1: faça um segmento de reta perpendicular de C até o eixo de simetria e meça-o.
Como o eixo de simetria passa exatamente pelas diagonais dos quadrados unitários, uma reta perpendicular a ele deverá passar pela outra diagonal do quadrado unitário. Em outras palavras, retas com coeficientes angulares start text, 1, end text e start text, negative, 1, end text são sempre perpendiculares.
Para ficar mais fácil, vamos medir a distância em "diagonais":
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para baixo da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e um, e um e zero. Um ponto C está na coordenada dois negativo e nove. Uma semirreta se estende três diagonais a partir do ponto C até chegar à reta tracejada.
Etapa 2: faça o segmento de reta na mesma direção e com a mesma medida.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para baixo da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e um, e um e zero. Um ponto C está na coordenada dois negativo e nove. Uma semirreta se estende três diagonais a partir do ponto C até chegar à reta tracejada. A semirreta passa pela reta tracejada e se estende por mais três diagonais.
Resposta: C, prime está em left parenthesis, minus, 8, comma, 3, right parenthesis.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para baixo da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e um, e um e zero. Um ponto C está na coordenada dois negativo e nove. Uma semirreta se estende três diagonais a partir do ponto C até chegar à reta tracejada. A semirreta passa pela reta tracejada e se estende por mais três diagonais, apontando para o ponto C linha da imagem, na coordenada oito negativo e três.

Sua vez!

Exercício

Desenhe a imagem de D, left parenthesis, 3, comma, minus, 5, right parenthesis com uma reflexão em y, equals, x, plus, 2.

Desafio

Qual é a imagem de left parenthesis, minus, 12, comma, 12, right parenthesis com uma reflexão na reta y, equals, x?
left parenthesis
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Parte 2: reflexão de polígonos

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere o retângulo E, F, G, H desenhado abaixo. Vamos desenhar sua imagem E, prime, F, prime, G, prime, H, prime com uma reflexão na reta y, equals, x, minus, 5.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para cima da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e cinco negativo, e cinco e zero. Um retângulo com os pontos E F G e H. O Ponto E está em três negativo e três, o Ponto F está em cinco e três, o Ponto G está em cinco e três negativo. O ponto H está em três negativo e três negativo.

Solução

Quando refletimos um polígono, basta realizarmos uma reflexão em todos os vértices (isso é semelhante ao modo como transladamos ou rotacionamos polígonos).
Esses são os vértices originais e suas imagens. Observe que E, F e H estavam em um lado oposto do eixo de simetria como G. O mesmo vale para suas imagens, mas agora elas trocaram de lado!
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para cima da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e cinco negativo, e cinco e zero. O Ponto E está em três negativo e três, o Ponto F está em cinco e três, o Ponto G está em cinco e três negativo. O ponto H está em três negativo e três negativo. Uma semirreta se estende a partir do ponto E, passa pela reta tracejada e vai até o ponto E linha, em oito e oito negativo. Uma semirreta se estende a partir do ponto F, passa pela reta tracejada e vai até o ponto F linha, em oito e zero. Uma semirreta se estende a partir do ponto G e passa pela reta tracejada até chegar ao ponto G linha, em dois e zero. Uma semirreta se estende a partir do ponto H e passa pela reta tracejada até chegar ao ponto H linha em dois e oito negativo.
Agora basta ligarmos os vértices.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. Uma reta tracejada desliza para cima da esquerda para a direita, passando pelas coordenadas zero e cinco negativo, e cinco e zero. O Ponto E está em três negativo e três, o Ponto F está em cinco e três, o Ponto G está em cinco e três negativo. O ponto H está em três negativo e três negativo. Uma semirreta se estende a partir do ponto E, passa pela reta tracejada e vai até o ponto E linha, em oito e oito negativo. Uma semirreta se estende a partir do ponto F, passa pela reta tracejada e vai até o ponto F linha, em oito e zero. Uma semirreta se estende a partir do ponto G e passa pela reta tracejada até chegar ao ponto G linha, em dois e zero. Uma semirreta se estende a partir do ponto H e passa pela reta tracejada até chegar ao ponto H linha em dois e oito negativo. E linha, F linha, G linha e H linha formam a imagem de um retângulo.

Sua vez!

Problema 1

Desenhe as imagens dos segmentos de reta start overline, I, J, end overline e start overline, K, L, end overline com uma reflexão em y, equals, minus, 3.

Problema 2

Desenhe a imagem de triangle, M, N, O com uma reflexão em y, equals, minus, 1, minus, x.

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