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Curso: Geometria intermediária > Unidade 1

Lição 4: Rotações
Matemática
Geometria intermediária
Como realizar transformações
Rotações
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Rotação de formas ao redor da origem por múltiplos de 90°

Google Sala de Aula
Aprenda a desenhar a imagem de uma forma dada com uma rotação dada sobre a origem por qualquer múltiplo de 90°.

Introdução

Neste artigo, vamos praticar a arte de rotacionar formas. Falando matematicamente, vamos aprender a desenhar a imagem de uma dada forma após uma dada rotação.
Este artigo aborda a rotação por múltiplos de 90∘, tanto no sentido positivo (anti-horário) e negativo (horário).

Parte 1: rotação de pontos por 90∘, 180∘ e −90∘

Vamos estudar um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem A′ do ponto A(3,4) após uma rotação de 90∘ ao redor da origem.
Vamos começar visualizando o problema. Rotações positivas são no sentido anti-horário, então nossa rotação será assim:
Um plano cartesiano em branco com um segmento de reta cujas extremidades estão na origem e em um ponto identificado como A, na coordenada três e quatro. O ponto é girado noventa graus no sentido anti-horário, de forma que A linha esteja agora no segundo quadrante.
Legal, acabamos de estimar A′ visualmente. Mas agora, precisamos encontrar suas coordenadas exatas. Há duas formas de fazer isso.

Método de resolução 1: a abordagem visual

Podemos imaginar um retângulo com um vértice na origem e com o vértice oposto em A.
Um plano cartesiano com um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro, em três e zero e em três e quatro, que está identificado como A. Os eixos x e y estão em uma escala de um.
Uma rotação de 90∘ é como colocar o retângulo de lado:
Um plano cartesiano com uma pré-imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro, em três e zero e em três e quatro, que está identificado como A. Os eixos x e y estão em uma escala de um. O retângulo é girado noventa graus para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e três, em quatro negativo e zero, e em quatro negativo e três, que está identificado como A linha.
Agora, vemos que a imagem de A(3,4) depois da rotação é A′(−4,3).
Observe que é mais fácil rotacionar os pontos que estão sobre os eixos, e eles nos ajudam a encontrar a imagem de A:
Ponto(3,0)(0,4)(3,4)
Imagem(0,3)(−4,0)(−4,3)

Método de resolução 2: a abordagem algébrica

Vamos dar uma olhada mais de perto nos pontos A e A′:
PontoCoordenada xCoordenada y
A34
A′−43
Observe um fenômeno interessante: a coordenada x de A se tornou a coordenada y de A′, e a oposta da coordenada y de A se tornou a coordenada x de A′.
Podemos representar isso matematicamente assim:
R(0,0),90∘(x,y)=(−y,x)
Acontece que isso é verdadeiro para qualquer ponto, não apenas para A. Aqui estão mais alguns exemplos:
Um plano cartesiano com três pontos de pré-imagem em oito e um negativo, em três negativo e quatro, e em três negativo e seis negativo. Eles são girados no sentido anti-horário para formar a imagem dos pontos em um e oito, em quatro negativo e três negativo, e em seis e três negativo, respectivamente. Os eixos x e y estão em uma escala de um.
Além disso, acontece que rotações de 180∘ ou −90∘seguem padrões similares:
R(0,0),180∘(x,y)=(−x,−y)
R(0,0),−90∘(x,y)=(y,−x)
Podemos usá-los para rotacionar qualquer ponto que quisermos, substituindo suas coordenadas na equação apropriada.

Sua vez!

Problema 1

Desenhe a imagem de B(−7,−3) após a rotação de R(0,0),−90∘.

Problema 2

Desenhe a imagem de C(5,−6) após a rotação de R(0,0),180∘.

Método gráfico versus método algébrico

Em geral, todos são livres para escolher qual dos dois métodos usar. Cada louco com sua mania!
O método algébrico exige menos trabalho e tempo, mas você precisa se lembrar desses padrões. O método gráfico está sempre à sua disposição, mas pode demorar mais para resolver.

Parte 2: extensão para qualquer múltiplo de 90∘

Vamos estudar um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem D′ do ponto D(−5,4) após uma rotação de 270∘ ao redor da origem.

Solução

Já que uma rotação de 270∘ é o mesmo que três rotações de 90∘, podemos resolver isso graficamente realizando três rotações consecutivas de 90∘:
Um plano cartesiano com uma pré-imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro, em cinco negativo e zero, e em cinco negativo e quatro, que está identificado como D. Os eixos x e y estão em uma escala de um. O retângulo é girado noventa graus para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e cinco negativo, em quatro negativo e zero, e em quatro negativo e cinco negativo. O retângulo é girado noventa graus novamente para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro negativo, em cinco e zero, e em cinco e quatro negativo. O retângulo é girado noventa graus uma terceira vez para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e cinco, em quatro e zero e em quatro e cinco, que está identificado como D linha.
Mas espere! Podemos simplesmente fazer uma rotação de −90∘ ao invés de 270∘. Essas rotações são equivalentes. Veja só:
Um plano cartesiano com uma pré-imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro, em cinco negativo e zero, e em cinco negativo e quatro, que está identificado como D. Os eixos x e y estão em uma escala de um. O retângulo é girado noventa graus no sentido horário para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e cinco, em quatro e zero, e em quatro e cinco, que está identificado como D linha.
Pelo mesmo motivo, também podemos usar o padrão R(0,0),−90∘(x,y)=(y,−x):
R(0,0),270∘(−5,4)=(4,5)

Vamos estudar mais um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem de (−9,−7) após uma rotação de 810∘ ao redor da origem.

Solução

Uma rotação de 810∘ é o mesmo que duas rotações consecutivas de 360∘ seguidas por uma rotação de 90∘ (porque 810=2⋅360+90).
Uma rotação de 360∘ transforma qualquer ponto nele mesmo. Em outras palavras, ela não muda nada.
Então, uma rotação de 810∘ é o mesmo que uma rotação de 90∘. Portanto, podemos simplesmente usar o padrão R(0,0),90∘(x,y)=(−y,x):
R(0,0),810∘(−9,−7)=(7,−9)

Sua vez!

Problema 1

Desenhe a imagem de E(8,6) após a rotação de R(0,0),−270∘.

Problema 2

Que rotação é equivalente à rotação R(0,0),−990∘?
Escolha 1 resposta:

Parte 3: rotação de polígonos

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere o quadrilátero DEFG mostrado abaixo. Vamos desenhar sua imagem, D′E′F′G′, após a rotação R(0,0),270∘.
Um plano cartesiano com um quadrilátero com os vértices D em cinco e cinco, E em sete e seis, F em oito e dois negativo, e G em dois e dois negativo. Os eixos x e y estão em uma escala de um.

Solução

De forma semelhante às translações, quando rotacionamos um polígono, tudo o que precisamos fazer é rotacionar todos os vértices e, então, ligar as imagens dos vértices para encontrar a imagem do polígono.
Um plano cartesiano com uma pré-imagem de um quadrilátero com os vértices D em cinco e cinco, E em sete e seis, F em oito e dois negativo, e G em dois e dois negativo. Os eixos x e y estão em uma escala de um. A forma é girada duzentos e setenta graus no sentido anti-horário para formar a imagem do quadrilátero com vértices D linha em cinco e cinco negativo, E linha em seis e sete negativo, F linha em dois negativo e oito negativo, e G linha em dois negativo e dois negativo.

Sua vez!

Desenhe a imagem de △HIJ abaixo, depois da rotação R(0,0),90∘.

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