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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 1
Lição 4: RotaçõesRotação de formas ao redor da origem por múltiplos de 90°
Aprenda a desenhar a imagem de uma forma dada com uma rotação dada sobre a origem por qualquer múltiplo de 90°.
Introdução
Neste artigo, vamos praticar a arte de rotacionar formas. Falando matematicamente, vamos aprender a desenhar a imagem de uma dada forma após uma dada rotação.
Este artigo aborda a rotação por múltiplos de , tanto no sentido positivo (anti-horário) e negativo (horário).
Parte 1: rotação de pontos por , e
Vamos estudar um exemplo de problema
Queremos encontrar a imagem do ponto após uma rotação de ao redor da origem.
Vamos começar visualizando o problema. Rotações positivas são no sentido anti-horário, então nossa rotação será assim:
Legal, acabamos de estimar visualmente. Mas agora, precisamos encontrar suas coordenadas exatas. Há duas formas de fazer isso.
Método de resolução 1: a abordagem visual
Podemos imaginar um retângulo com um vértice na origem e com o vértice oposto em .
Uma rotação de é como colocar o retângulo de lado:
Agora, vemos que a imagem de depois da rotação é .
Observe que é mais fácil rotacionar os pontos que estão sobre os eixos, e eles nos ajudam a encontrar a imagem de :
Ponto | |||
---|---|---|---|
Imagem |
Método de resolução 2: a abordagem algébrica
Vamos dar uma olhada mais de perto nos pontos e :
Ponto | Coordenada | Coordenada |
---|---|---|
Observe um fenômeno interessante: a coordenada de se tornou a coordenada de , e a oposta da coordenada de se tornou a coordenada de .
Podemos representar isso matematicamente assim:
Acontece que isso é verdadeiro para qualquer ponto, não apenas para . Aqui estão mais alguns exemplos:
Além disso, acontece que rotações de ou seguem padrões similares:
Podemos usá-los para rotacionar qualquer ponto que quisermos, substituindo suas coordenadas na equação apropriada.
Sua vez!
Problema 1
Problema 2
Método gráfico versus método algébrico
Em geral, todos são livres para escolher qual dos dois métodos usar. Cada louco com sua mania!
O método algébrico exige menos trabalho e tempo, mas você precisa se lembrar desses padrões. O método gráfico está sempre à sua disposição, mas pode demorar mais para resolver.
Parte 2: extensão para qualquer múltiplo de
Vamos estudar um exemplo de problema
Queremos encontrar a imagem do ponto após uma rotação de ao redor da origem.
Solução
Já que uma rotação de é o mesmo que três rotações de , podemos resolver isso graficamente realizando três rotações consecutivas de :
Mas espere! Podemos simplesmente fazer uma rotação de ao invés de . Essas rotações são equivalentes. Veja só:
Pelo mesmo motivo, também podemos usar o padrão :
Vamos estudar mais um exemplo de problema
Queremos encontrar a imagem de após uma rotação de ao redor da origem.
Solução
Uma rotação de é o mesmo que duas rotações consecutivas de seguidas por uma rotação de (porque ).
Uma rotação de transforma qualquer ponto nele mesmo. Em outras palavras, ela não muda nada.
Então, uma rotação de é o mesmo que uma rotação de . Portanto, podemos simplesmente usar o padrão :
Sua vez!
Problema 1
Problema 2
Parte 3: rotação de polígonos
Vamos estudar um exemplo de problema
Considere o quadrilátero mostrado abaixo. Vamos desenhar sua imagem, , após a rotação .
Solução
De forma semelhante às translações, quando rotacionamos um polígono, tudo o que precisamos fazer é rotacionar todos os vértices e, então, ligar as imagens dos vértices para encontrar a imagem do polígono.
Sua vez!
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- Bem fácil e legal de aprender, mas é melhor aprender no pessoal com a professora.(1 voto)