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Geometria intermediária

Curso: Geometria intermediária > Unidade 1

Lição 4: Rotações
Matemática
Geometria intermediária
Como realizar transformações
Rotações
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Rotação de formas ao redor da origem por múltiplos de 90°

Google Sala de Aula
Aprenda a desenhar a imagem de uma forma dada com uma rotação dada sobre a origem por qualquer múltiplo de 90°.

Introdução

Neste artigo, vamos praticar a arte de rotacionar formas. Falando matematicamente, vamos aprender a desenhar a imagem de uma dada forma após uma dada rotação.
Este artigo aborda a rotação por múltiplos de 90, degrees, tanto no sentido positivo (anti-horário) e negativo (horário).

Parte 1: rotação de pontos por 90, degrees, 180, degrees e minus, 90, degrees

Vamos estudar um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem A, prime do ponto A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis após uma rotação de 90, degrees ao redor da origem.
Vamos começar visualizando o problema. Rotações positivas são no sentido anti-horário, então nossa rotação será assim:
Um plano cartesiano em branco com um segmento de reta cujas extremidades estão na origem e em um ponto identificado como A, na coordenada três e quatro. O ponto é girado noventa graus no sentido anti-horário, de forma que A linha esteja agora no segundo quadrante.
Legal, acabamos de estimar A, prime visualmente. Mas agora, precisamos encontrar suas coordenadas exatas. Há duas formas de fazer isso.

Método de resolução 1: a abordagem visual

Podemos imaginar um retângulo com um vértice na origem e com o vértice oposto em A.
Um plano cartesiano com um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro, em três e zero e em três e quatro, que está identificado como A. Os eixos x e y estão em uma escala de um.
Uma rotação de 90, degrees é como colocar o retângulo de lado:
Um plano cartesiano com uma pré-imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro, em três e zero e em três e quatro, que está identificado como A. Os eixos x e y estão em uma escala de um. O retângulo é girado noventa graus para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e três, em quatro negativo e zero, e em quatro negativo e três, que está identificado como A linha.
Agora, vemos que a imagem de A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis depois da rotação é A, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis.
Observe que é mais fácil rotacionar os pontos que estão sobre os eixos, e eles nos ajudam a encontrar a imagem de A:
Pontoleft parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesisleft parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis
Imagemleft parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesisleft parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis

Método de resolução 2: a abordagem algébrica

Vamos dar uma olhada mais de perto nos pontos A e A, prime:
PontoCoordenada xCoordenada y
Astart color #01a995, 3, end color #01a995start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff
A, primeminus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ffstart color #01a995, 3, end color #01a995
Observe um fenômeno interessante: a coordenada x de A se tornou a coordenada y de A, prime, e a oposta da coordenada y de A se tornou a coordenada x de A, prime.
Podemos representar isso matematicamente assim:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis
Acontece que isso é verdadeiro para qualquer ponto, não apenas para A. Aqui estão mais alguns exemplos:
Um plano cartesiano com três pontos de pré-imagem em oito e um negativo, em três negativo e quatro, e em três negativo e seis negativo. Eles são girados no sentido anti-horário para formar a imagem dos pontos em um e oito, em quatro negativo e três negativo, e em seis e três negativo, respectivamente. Os eixos x e y estão em uma escala de um.
Além disso, acontece que rotações de 180, degrees ou minus, 90, degreesseguem padrões similares:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 180, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis
Podemos usá-los para rotacionar qualquer ponto que quisermos, substituindo suas coordenadas na equação apropriada.

Sua vez!

Problema 1

Desenhe a imagem de B, left parenthesis, minus, 7, comma, minus, 3, right parenthesis após a rotação de R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript.

Problema 2

Desenhe a imagem de C, left parenthesis, 5, comma, minus, 6, right parenthesis após a rotação de R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 180, degrees, end subscript.

Método gráfico versus método algébrico

Em geral, todos são livres para escolher qual dos dois métodos usar. Cada louco com sua mania!
O método algébrico exige menos trabalho e tempo, mas você precisa se lembrar desses padrões. O método gráfico está sempre à sua disposição, mas pode demorar mais para resolver.

Parte 2: extensão para qualquer múltiplo de 90, degrees

Vamos estudar um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem D, prime do ponto D, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis após uma rotação de 270, degrees ao redor da origem.

Solução

Já que uma rotação de 270, degrees é o mesmo que três rotações de 90, degrees, podemos resolver isso graficamente realizando três rotações consecutivas de 90, degrees:
Um plano cartesiano com uma pré-imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro, em cinco negativo e zero, e em cinco negativo e quatro, que está identificado como D. Os eixos x e y estão em uma escala de um. O retângulo é girado noventa graus para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e cinco negativo, em quatro negativo e zero, e em quatro negativo e cinco negativo. O retângulo é girado noventa graus novamente para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro negativo, em cinco e zero, e em cinco e quatro negativo. O retângulo é girado noventa graus uma terceira vez para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e cinco, em quatro e zero e em quatro e cinco, que está identificado como D linha.
Mas espere! Podemos simplesmente fazer uma rotação de minus, 90, degrees ao invés de 270, degrees. Essas rotações são equivalentes. Veja só:
Um plano cartesiano com uma pré-imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e quatro, em cinco negativo e zero, e em cinco negativo e quatro, que está identificado como D. Os eixos x e y estão em uma escala de um. O retângulo é girado noventa graus no sentido horário para formar a imagem de um retângulo com vértices na origem, em zero e cinco, em quatro e zero, e em quatro e cinco, que está identificado como D linha.
Pelo mesmo motivo, também podemos usar o padrão R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis, equals, left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis

Vamos estudar mais um exemplo de problema

Queremos encontrar a imagem de left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis após uma rotação de 810, degrees ao redor da origem.

Solução

Uma rotação de 810, degrees é o mesmo que duas rotações consecutivas de 360, degrees seguidas por uma rotação de 90, degrees (porque 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
Uma rotação de 360, degrees transforma qualquer ponto nele mesmo. Em outras palavras, ela não muda nada.
Então, uma rotação de 810, degrees é o mesmo que uma rotação de 90, degrees. Portanto, podemos simplesmente usar o padrão R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 810, degrees, end subscript, left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis, equals, left parenthesis, 7, comma, minus, 9, right parenthesis

Sua vez!

Problema 1

Desenhe a imagem de E, left parenthesis, 8, comma, 6, right parenthesis após a rotação de R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 270, degrees, end subscript.

Problema 2

Que rotação é equivalente à rotação R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 990, degrees, end subscript?
Escolha 1 resposta:

Parte 3: rotação de polígonos

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere o quadrilátero D, E, F, G mostrado abaixo. Vamos desenhar sua imagem, D, prime, E, prime, F, prime, G, prime, após a rotação R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript.
Um plano cartesiano com um quadrilátero com os vértices D em cinco e cinco, E em sete e seis, F em oito e dois negativo, e G em dois e dois negativo. Os eixos x e y estão em uma escala de um.

Solução

De forma semelhante às translações, quando rotacionamos um polígono, tudo o que precisamos fazer é rotacionar todos os vértices e, então, ligar as imagens dos vértices para encontrar a imagem do polígono.
Um plano cartesiano com uma pré-imagem de um quadrilátero com os vértices D em cinco e cinco, E em sete e seis, F em oito e dois negativo, e G em dois e dois negativo. Os eixos x e y estão em uma escala de um. A forma é girada duzentos e setenta graus no sentido anti-horário para formar a imagem do quadrilátero com vértices D linha em cinco e cinco negativo, E linha em seis e sete negativo, F linha em dois negativo e oito negativo, e G linha em dois negativo e dois negativo.

Sua vez!

Desenhe a imagem de triangle, H, I, J abaixo, depois da rotação R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript.

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