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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 1
Lição 4: RotaçõesRotação de formas ao redor da origem por múltiplos de 90°
Aprenda a desenhar a imagem de uma forma dada com uma rotação dada sobre a origem por qualquer múltiplo de 90°.
Introdução
Neste artigo, vamos praticar a arte de rotacionar formas. Falando matematicamente, vamos aprender a desenhar a imagem de uma dada forma após uma dada rotação.
Este artigo aborda a rotação por múltiplos de 90, degrees, tanto no sentido positivo (anti-horário) e negativo (horário).
Parte 1: rotação de pontos por 90, degrees, 180, degrees e minus, 90, degrees
Vamos estudar um exemplo de problema
Queremos encontrar a imagem A, prime do ponto A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis após uma rotação de 90, degrees ao redor da origem.
Vamos começar visualizando o problema. Rotações positivas são no sentido anti-horário, então nossa rotação será assim:
Legal, acabamos de estimar A, prime visualmente. Mas agora, precisamos encontrar suas coordenadas exatas. Há duas formas de fazer isso.
Método de resolução 1: a abordagem visual
Podemos imaginar um retângulo com um vértice na origem e com o vértice oposto em A.
Uma rotação de 90, degrees é como colocar o retângulo de lado:
Agora, vemos que a imagem de A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis depois da rotação é A, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis.
Observe que é mais fácil rotacionar os pontos que estão sobre os eixos, e eles nos ajudam a encontrar a imagem de A:
Ponto | left parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis | left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis |
---|---|---|---|
Imagem | left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis |
Método de resolução 2: a abordagem algébrica
Vamos dar uma olhada mais de perto nos pontos A e A, prime:
Ponto | Coordenada x | Coordenada y |
---|---|---|
A | start color #01a995, 3, end color #01a995 | start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff |
A, prime | minus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff | start color #01a995, 3, end color #01a995 |
Observe um fenômeno interessante: a coordenada x de A se tornou a coordenada y de A, prime, e a oposta da coordenada y de A se tornou a coordenada x de A, prime.
Podemos representar isso matematicamente assim:
Acontece que isso é verdadeiro para qualquer ponto, não apenas para A. Aqui estão mais alguns exemplos:
Além disso, acontece que rotações de 180, degrees ou minus, 90, degreesseguem padrões similares:
Podemos usá-los para rotacionar qualquer ponto que quisermos, substituindo suas coordenadas na equação apropriada.
Sua vez!
Problema 1
Problema 2
Método gráfico versus método algébrico
Em geral, todos são livres para escolher qual dos dois métodos usar. Cada louco com sua mania!
O método algébrico exige menos trabalho e tempo, mas você precisa se lembrar desses padrões. O método gráfico está sempre à sua disposição, mas pode demorar mais para resolver.
Parte 2: extensão para qualquer múltiplo de 90, degrees
Vamos estudar um exemplo de problema
Queremos encontrar a imagem D, prime do ponto D, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis após uma rotação de 270, degrees ao redor da origem.
Solução
Já que uma rotação de 270, degrees é o mesmo que três rotações de 90, degrees, podemos resolver isso graficamente realizando três rotações consecutivas de 90, degrees:
Mas espere! Podemos simplesmente fazer uma rotação de minus, 90, degrees ao invés de 270, degrees. Essas rotações são equivalentes. Veja só:
Pelo mesmo motivo, também podemos usar o padrão R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
Vamos estudar mais um exemplo de problema
Queremos encontrar a imagem de left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis após uma rotação de 810, degrees ao redor da origem.
Solução
Uma rotação de 810, degrees é o mesmo que duas rotações consecutivas de 360, degrees seguidas por uma rotação de 90, degrees (porque 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
Uma rotação de 360, degrees transforma qualquer ponto nele mesmo. Em outras palavras, ela não muda nada.
Então, uma rotação de 810, degrees é o mesmo que uma rotação de 90, degrees. Portanto, podemos simplesmente usar o padrão R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
Sua vez!
Problema 1
Problema 2
Parte 3: rotação de polígonos
Vamos estudar um exemplo de problema
Considere o quadrilátero D, E, F, G mostrado abaixo. Vamos desenhar sua imagem, D, prime, E, prime, F, prime, G, prime, após a rotação R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript.
Solução
De forma semelhante às translações, quando rotacionamos um polígono, tudo o que precisamos fazer é rotacionar todos os vértices e, então, ligar as imagens dos vértices para encontrar a imagem do polígono.
Sua vez!
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