Desafio de trigonometria: valores trigonométricos e razões dos lados

RKA - "Organize as expressões de acordo com seus valores. Coloque quantos cartões quiser em uma categoria ou deixe-a vazia". Tem esse diagrama e esses cartões com expressões, e a gente deve organizar nestas categorias: o comprimento do segmento AC sobre o comprimento do segmento BC é igual a quê? É igual a qual dessas expressões? Arrastamos para a resposta apropriada. Para fazer isso, passei o problema para minha lousa; é o mesmo diagrama, só um pouquinho maior. Aqui estão as expressões que devemos arrastar, e aqui estão as expressões para as quais tem que arrastar estas. Vamos analisar esta primeiro: o comprimento do segmento AC sobre o comprimento do segmento BC. Vamos pensar em que AC representa. O comprimento AC é este, o comprimento que está em roxo, sobre o comprimento de BC, sobre este comprimento. É a razão dos comprimentos de dois lados de um triângulo retângulo. Este é claramente um triângulo retângulo, o ABC. Vou colorir para ver de qual estou falando. O triângulo ABC é este triângulo inteiro, no qual estamos nos concentrando. A gente sabe que a razão de dois lados de um triângulo retângulo será o seno de um de seus ângulos, e nos dão um dos ângulos. Eles nos dão um dos ângulos, bem aqui. Eles só marcaram um ângulo, mas, repare: um arco está aqui, outro está aqui. Onde vemos só um arco, temos 30 graus, então aqui também temos 30 graus. Dois arcos indicam 41 graus. Dois arcos aqui: são ângulos congruentes, este aqui também tem 41 graus. Aqui há três arcos. Não nos dizem quantos graus ele tem, mas este ângulo com três arcos é congruente a este com três arcos aqui. Enfim... Neste triângulo amarelo ABC, a gente sabe que a medida deste ângulo é 30 graus, e nos dão estes dois lados. Como esses lados se relacionam com este ângulo de 30 graus? O lado AC é adjacente a ele; é um dos lados do ângulo que não é a hipotenusa. Vou anotar! Este é: "adjacente". E o que é BC? BC é a hipotenusa deste triângulo retângulo, é o lado oposto aos 90 graus. Esta é a hipotenusa. Qual é a função que relaciona lado adjacente com a hipotenusa? Aplicaremos essa função com o ângulo de 30 graus. Vamos escrever: "cohi cahi coca" para lembrar. "Cohi cahi coca". O seno de um ângulo é o cateto oposto sobre a hipotenusa ("cohi"). O cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa ("cahi"). Vou anotar. O cosseno de 30 graus vai ser igual ao comprimento do lado adjacente, que é AC, sobre o comprimento da hipotenusa, que é igual a BC. Então, é o mesmo que o cosseno de 30 graus. Vamos arrastá-lo. Isto é igual ao cosseno de 30 graus. Agora, vejamos o próximo: o cosseno do ângulo DEC. Onde está o DEC? DEC é este ângulo aqui. Vou marcar quatro arcos para não confundir. Este é o ângulo DEC. Qual é o cosseno de DEC? Cosseno é a medida do cateto adjacente sobre a medida da hipotenusa. O lado adjacente ao ângulo DEC está bem aqui. O lado adjacente não é o outro? O outro lado, o DE, é a hipotenusa, não será o adjacente. O lado adjacente é o EC, é o comprimento do segmento EC. E a hipotenusa está bem aqui. O comprimento da hipotenusa. A hipotenusa é o lado DE. Ou ED, tanto faz! O comprimento é DE. Isso também é igual a quê? Não há essa opção aqui! Não tem a razão EC sobre DE como uma das opções. Mas tem um dos ângulos aqui. Eles nos deram esses 41 graus. E o comprimento do lado verde sobre o laranja, qual seria se quisesse aplicar uma função a este ângulo? Em relação a este ângulo, o lado verde é o lado oposto, e o laranja é a hipotenusa. Em relação a 41 graus... Vou anotar. Em relação a 41 graus, esta razão é o cateto oposto sobre a hipotenusa, é o cosseno deste ângulo. Mas é o seno deste ângulo aqui. Seno é cateto oposto sobre hipotenusa. Então, isto é igual ao seno deste ângulo aqui. É igual ao seno de 41 graus. É essa resposta aqui: o seno de 41 graus. Então, vamos arrastar para a resposta apropriada. O seno de 41 graus é o mesmo que o cosseno do ângulo DEC. Só falta duas! Agora, tem que descobrir o seno do ângulo CDA. Onde está o CDA? CDA é este ângulo inteiro, é este ângulo inteiro aqui. Vou pôr um monte de arcos para mostrar que é diferente dos outros. É este ângulo aqui. Agora, estamos lidando com esse triângulo retângulo maior. Vou realçá-lo de rosa. Estamos lidando com esse triângulo retângulo maior aqui. Queremos o seno disso. Seno é cateto oposto sobre hipotenusa. Portanto, o lado oposto vai ser o lado CA. Isso vai ser igual ao comprimento de CA sobre a hipotenusa, que é AD. Aqui teremos sobre AD. De novo, não tem essa opção, mas talvez essa razão seja uma função aplicada a um dos outros ângulos. E nos deram esse ângulo aqui, a gente pode chamar de DAC. O ângulo DAC mede 30 graus. Em relação a ele, de quais dois lados queremos a razão? Queremos a razão do lado adjacente sobre a hipotenusa. É o lado adjacente sobre a hipotenusa. Qual é a função que relaciona lado adjacente sobre a hipotenusa? É a função cosseno. Então, isto é igual ao cosseno deste ângulo. É igual ao cosseno de 30 graus. O seno de CDA é igual ao cosseno deste ângulo. Este é igual a isto. Vou arrastar! Esta expressão é igual a... Vejam que arrastei para cá. Agora só falta uma! Estamos terminando! Ânimo! AE sobre EB. AE... Vou usar esta cor. Comprimento do segmento AE é este aqui, vou realçar mais, vou usar o vermelho. Essa cor aqui é o comprimento do segmento AE sobre o comprimento do segmento EB. Este aqui é o EB. Agora, estamos focados neste triângulo retângulo, e a gente sabe a medida deste ângulo aqui. Tem dois arcos, e eles indicam 41 graus. Tem duas marcas, logo, ele também tem 41 graus. Em relação a este ângulo, qual é esta razão? É cateto oposto sobre hipotenusa. Cateto oposto sobre hipotenusa. Esse, então, vai ser o seno daquele ângulo, seno de 41 graus. É igual à primeira expressão. Vamos arrastá-la! Esta é igual ao seno de 41 graus. Nenhuma expressão é igual à tangente de 41 graus. Agora, vamos ver se acertamos... Espero que sim! Ah! Acertamos!