Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Problema de trigonometria: ângulos complementares

Neste vídeo, resolvemos um problema sobre uma pirâmide submersa encontrando ângulos congruentes no diagrama e usando o fato de que o cosseno de um determinado ângulo é sempre o mesmo, não importa o quão grande seja o triângulo no qual ele aparece. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA - O rio Nilo transbordou e encobriu todo o seu entorno, exceto por uma ponta da Grande Pirâmide de Gizé, no Egito. Uma expedição foi enviada para descobrir o quanto o nível do rio subiu. As pessoas mediram a borda da pirâmide que estava sobre a água e encontraram a medida de 72 metros. Isso aqui. Elas sabiam que a medida da borda inteira é de 180 metros. Aqui, olha! Elas também sabiam que a altura total da pirâmide é de 139 metros. Está aqui a altura total. Qual é o nível da água que está acima do solo? Arredonde sua resposta, se necessário, para duas casas decimais. Então, aqui é o solo, é o nível do solo, e o que eles querem que a gente saiba é essa medida aqui. Vamos chamá-la de "h" e, agora, tentar descobrir essa medida "h". Pois bem, o que sabemos o que não sabemos? Ele nos dá a medida desse ângulo, que é θ (teta), e como esse ângulo aqui é de 90 graus, já que isso aqui é uma altura, esse outro ângulo aqui do triângulo vai ser o complemento desse teta, ou seja, 90° menos θ. Com essa informação, a gente já descobre que esse ângulo aqui também é θ. Se isso pareceu estranho para você, tudo bem! Eu vou desenhar aqui para fazer um pouquinho mais claro para que você entenda. Vamos lá! Aqui eu tenho um triângulo retângulo e esse ângulo é o ângulo de 90 graus menos o θ. Eu quero descobrir a medida desse outro ângulo, vamos chamar de "x". Eu sei que se eu somar todos os ângulos dá 180°. Então, "x" mais 90° menos θ, que é esse ângulo, mais esse ângulo de 90°, vai ser igual a 180°. E agora, se eu subtrair 180° em ambos os lados da equação, eu vou simplificar isso aqui e isso aqui, certo? Daí, eu vou chegar à conclusão que "x" menos θ vai ser igual a zero. Logo, somando o θ em ambos os lados, eu vou ter que o "x" vai ser igual a θ. Está aí a dedução. Chegamos à conclusão que o "x" é igual a θ. Beleza? E agora, o que mais a gente sabe? A gente sabe que essa medida é de 72 metros. Então, como tudo isso aqui é 180, está dizendo aqui, logo, só essa parte que está sob a água, sob a água, debaixo da água, vai ser 108, para somar 180. Bom, em que isso aqui vai nos ajudar? A gente tem que descobrir a medida do "h". Então, aqui eu tenho um novo triângulo retângulo, sim ou não? Para você poder observar melhor, vou até pintar para ficar mais fácil a visualização. Esse aqui é o nosso triângulo retângulo considerado, certo? Se eu tenho esse triângulo retângulo, e eu quero descobrir o valor do "h", eu posso usar uma função trigonométrica baseada nesse ângulo θ. Então, relativo a esse ângulo θ, o lado "h", que é o que eu quero saber, é um lado adjacente. E esse lado aqui que vale 108 é a hipotenusa do triângulo retângulo. Sim ou não? E agora, qual é a fusão trigonométrica que vai relacionar o cateto adjacente com a hipotenusa? Podemos usar aqui o "soh cah toa". Certo? Como a gente observa, o seno é o oposto sobre a hipotenusa, seria esse aqui, esse lado, sobre a hipotenusa. O cosseno é o adjacente sobre a hipotenusa. Então, adjacente sobre a hipotenusa. Vamos usar o cosseno. Cosseno de θ vai ser igual à altura, que é o adjacente, sobre a hipotenusa 108. Só que isso aqui não ajuda muita a gente, pois a gente não sabe a medida do ângulo θ. Porém, repare que aqui tem θ novamente. E, portanto, talvez, se eu conseguir calcular o cosseno desse θ, eu consiga uma relação que me dê o "h". Vamos ver. O cosseno de θ, que vai ser o mesmo ângulo, e, nesse caso, nós estamos trabalhando com esse triângulo retângulo aqui, todo ele, grandão aqui. Com base nesse triângulo retângulo grande, qual vai ser o cosseno de θ? Novamente, é o adjacente, que é 139, sobre a hipotenusa, 180. Olha aqui o adjacente. Esse aqui é o lado adjacente. E a hipotenusa está aqui, 180, que é o mesmo desse lado aqui, não é? Então, vai ser: adjacente, 139, sobre a hipotenusa, 180. Portanto, esse θ, como é exatamente igual a esse θ, de acordo com o que nós demonstramos aqui do lado, e aí, como nós calculamos que o cosseno de θ é "h" sobre 108, e, ao mesmo tempo, o cosseno de θ é 139 sobre 180, nós podemos, então, igualar esses dois resultados, já que eles representam o cosseno de θ. Então, eu vou ter que "h" sobre 108 é igual a 139 sobre 180. Beleza? Agora, para achar o valor do "h", basta que eu multiplique ambos os lados por 108, aí eu vou ter que o "h" vai ser igual a 139 vezes 108. Certo? Tudo isso dividido por 180. Para calcular o valor do "h," agora, eu vou usar a calculadora. Vamos lá! 139 vezes 108 dividido por 180. Quanto dá? 83,4. Portanto, eu posso escrever que isso aqui vai ser igual a 83,4 metros, e daí eu cheguei à conclusão que a altura da água sobre o solo vai ser igual a 83,4 metros, e finalizamos o problema. Até o próximo vídeo!