Outra demonstração do teorema de Pitágoras

RKA - Caso você não tenha notado, de certa forma eu fiquei obcecado em demonstrar o Teorema de Pitágoras de todas as formas que eu encontrar. Vamos a mais uma: E como começam todas essas demonstrações, vamos construir um triângulo retângulo. Com a hipotenusa na base. Então, essa é a hipotenusa do meu triângulo retângulo, e vou tentar desenhar o maior possível para que tenhamos espaço para trabalhar. Esta será a hipotenusa, digamos que este é o lado mais comprido, não é a hipotenusa. Podemos ter dois lados iguais, mas eu vou desenhar de tal forma que pareça um pouco mais comprido. Digamos que o comprimento desse lado é a e vamos desenhar esse lado, ele tem que ser um triângulo direitinho, então talvez vá bem aqui. b é o comprimento desse lado. Eu vou estender o comprimento a um pouco, e definitivamente se parece com um triângulo retângulo. Esse é o nosso ângulo de 90 graus. Então, a primeira coisa a fazer será pegar esse triângulo e girar 90 graus no sentido anti-horário. Se girar 90 graus no sentido anti-horário, vou girar exatamente assim e desenhar uma versão totalmente congruente desse aqui. Vou girar 90 graus e fazendo isso a hipotenusa vai ficar em pé. Vou fazer o possível para desenhar a olho em escala tão proporcional quanto possível. O lado cujo comprimento é a terá mais ou menos essa aparência, será na verdade paralelo a esse aqui. Deixa eu ver se desenho bem... o comprimento desse lado é a, e pra saber, isso teria 90 graus, o giro entre os lados correspondentes será de apenas 90 graus em todos os casos, isso terá 90 graus e isso terá 90 graus, agora vou desenhar o lado b e ele terá essa aparência... E o comprimento desse lado é b. O ângulo reto está aqui agora. Tudo o que eu fiz foi girar 90 graus no sentido anti-horário. Agora quero construir um paralelogramo. Vou construir um paralelogramo, basicamente vou identificar, a altura disso é c. Vou fazer em branco. A altura disso é c. Eu quero ir desse ponto e subir tão alto quanto c. A altura disso... É c também. Quanto é esse comprimento? Qual será o comprimento aqui, desse ponto até esse ponto? Uma pista é que isto é um paralelogramo. Esta linha será paralela a esta linha. Ela manteve a mesma distância, e uma vez que está percorrendo a mesma distância na direção de x, ou na direção horizontal, e na direção vertical, terá o mesmo comprimento. O comprimento disso será a Agora, a próxima pergunta que eu tenho é: (rufar de tambores) Qual é a área desse paralelogramo que eu acabei de construir? Para tentar descobrir, vamos redesenhar essa parte do diagrama de forma que o paralelogramo esteja sentado em sua base. O comprimento disso é a, o comprimento disto é c, o comprimento disto é c. E se olhar para essa parte bem aqui, ela te dá uma pista. Eu vou usar a cor verde. A altura do paralelogramo é informada, esse lado é perpendicular à sua base. Então, a altura do paralelogramo, a altura do paralelogramo também é a. Qual é a área? A área de um paralelogramo é apenas a base vezes a altura. Então a área deste paralelogramo será a ao quadrado. Agora vamos fazer a mesma coisa, mas é preciso girar o triângulo direito original. E girar para o outro lado, vamos virar 90 graus no sentido horário, dessa vez em vez desse ponto será aquele ponto bem ali. E o que teremos? O lado com comprimento c, se eu girar assim, vai acabar bem aqui. Bem aqui. Vou tentar desenhar a olho em escala tão proporcional quando for possível heim? O comprimento desse lado é c. Agora o lado que tem comprimento b vai se destacar e vai se parecer mais ou menos com isso. Será paralelo àquilo, será um ângulo reto... Vou desenhar assim. Beleza. Logo, o lado com comprimento a vai ficar aqui fora. Este é a. Este é b... Eu queria fazer aquele b em azul. Vou fazer o b em azul. E então, este ângulo reto, uma vez que tenha girado, vai ficar aqui. Vamos fazer o mesmo exercício, vamos construir um paralelogramo. A altura disso é c, a altura disso também é c, logo, pela mesma lógica que usamos, se esse comprimento é b, esse também é b. Essas são retas paralelas. Vamos andar a mesma distância na direção horizontal, e subiremos o mesmo tanto na direção vertical. Sabemos disso porque são paralelas, então tem comprimento b aqui embaixo e aqui em cima. Qual é a área deste paralelogramo, ali do outro lado? Qual será a área daquele paralelogramo? Mais uma vez, para ajudar a visualizar, dá pra desenhar no plano... Então este é aquele lado, e você tem outro lado, o comprimento de ambos é b, e tem os lados com comprimento c. Isto é c, isto é c. Qual é a altura? A altura equivale ao comprimento b. Equivale ao comprimento b. Isso é mostrado bem aqui, sabemos que tem 90 graus e giramos 90 graus. Portanto, foi assim que construímos a coisa. Dessa forma, a área do paralelogramo é apenas a base vezes a altura. A área desse paralelogramo é b ao quadrado. Agora as coisas estão começando a ficar interessantes, e o que eu vou fazer é copiar e colar essa parte... Porque... na minha cabeça é a parte mais interessante do nosso diagrama. Deixa ver se eu consigo selecionar bem. Selecionando essa parte aqui, vou copiar... Vamos rolar para baixo e então colar. Então, neste diagrama que construímos fica bem claro qual é a área dele, do diagrama combinado. Apago algumas partes dele, opa, quero fazer em preto para limpar e limpar essa coisa para realmente pegar as partes em que queremos nos focar. Limpando isso... Limpando... E limpando isso, e limpando ali em cima. Na verdade eu vou apagar aqui embaixo também. Embora a gente saiba que esse comprimento era c. Na verdade eu vou desenhar isso, que era da construção original. Sabemos que esse comprimento é c. Sabemos que essa altura é c, neste aqui embaixo é c. Mas a pergunta é: qual é a área dessa figura combinada? É apenas a ao quadrado mais b ao quadrado. A área é apenas a ao quadrado mais b ao quadrado, a área desses dois paralelogramos. Como podemos rearranjar pedaços dessa figura para que possamos demonstrá-la em termos de c? Bom, talvez tenha chamado sua atenção quando eu desenhei essa reta. Deixa eu fazer em branco. A gente sabe que o comprimento dessa parte é c. E vem da nossa construção original. Opa! Perdi meu diagrama. O comprimento disso é c, o comprimento disso é c, e assim o comprimento disso é c. O que eu poderia fazer é pegar esse triângulo retângulo aqui em cima, que é completamente congruente ao nosso triângulo retângulo original e deslocar para baixo. Lembre-se: a área inteira, incluindo esse triângulo em cima, é a ao quadrado mais b ao quadrado, mas estamos excluindo essa parte aqui embaixo, que era nosso triângulo original. Mas o que acontece se eu usar isso? Vou cortar e colar. E tudo o que eu estou fazendo é mover esse triângulo para baixo, então agora ele tem essa aparência e apenas rearranjei a área, que era a ao quadrado mais b ao quadrado. Essa área, desse quadrado inteiro, ainda é a ao quadrado mais b ao quadrado. A ao quadrado representa toda essa área bem aqui, que era antes um paralelogramo, apenas movi aquela parte de cima do paralelogramo para baixo. B ao quadrado representa toda esta área. O que vai representar em termos de c? Sabemos que esta coisa toda é c ao quadrado. Então, a área em termos de c é apenas c ao quadrado, logo a ao quadrado mais b ao quadrado é igual a c ao quadrado. Mais uma vez, demonstramos o Teorema de Pitágoras.