Revise a lei dos senos e a lei dos cossenos e use-as para resolver problemas com qualquer triângulo.

Lei dos senos

asen(α)=bsen(β)=csen(γ)\dfrac{a}{\operatorname{sen}(\alpha)}=\dfrac{b}{\operatorname{sen}(\beta)}=\dfrac{c}{\operatorname{sen}(\gamma)}

Lei dos cossenos

c2=a2+b22abcos(γ)c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)
Quer saber mais sobre a lei dos senos? Confira este vídeo.
Quer saber mais sobre a lei dos cossenos? Confira este vídeo.

Conjunto de exercícios 1: resolução de triângulos usando a lei dos senos

Essa lei é útil para encontrar um ângulo desconhecido quando dado um ângulo e dois lados, ou para encontrar um lado desconhecido quando dado dois ângulos e um lado.

Exemplo 1: como encontrar o lado desconhecido

Vamos encontrar ACAC no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos senos, ABsen(C)=ACsen(B)\dfrac{AB}{\operatorname{sen}(\angle C)}=\dfrac{AC}{\operatorname{sen}(\angle B)}. Agora, podemos inserir os valores e resolver:
ABsen(C)=ACsen(B)5sen(33)=ACsen(67)5sen(67)sen(33)=AC8,45AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\operatorname{sen}(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\operatorname{sen}(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\operatorname{sen}(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\operatorname{sen}(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\operatorname{sen}(67^\circ)}{\operatorname{sen}(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Exemplo 2: como encontrar um ângulo desconhecido

Vamos encontrar mAm\angle A no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos senos, BCsen(A)=ABsen(C)\dfrac{BC}{\operatorname{sen}(\angle A)}=\dfrac{AB}{\operatorname{sen}(\angle C)}. Agora, podemos inserir os valores e resolver:
BCsen(A)=ABsen(C)11sen(A)=5sen(25)11sen(25)=5sen(A)11sen(25)5=sen(A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\operatorname{sen}(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\operatorname{sen}(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\operatorname{sen}(\angle A)}&=\dfrac{5}{\operatorname{sen}(25^\circ)} \\\\ 11\operatorname{sen}(25^\circ)&=5\operatorname{sen}(\angle A) \\\\ \dfrac{11\operatorname{sen}(25^\circ)}{5}&=\operatorname{sen}(\angle A) \end{aligned}
Ao calcularmos usando uma calculadora e arredondarmos:
mA=sen1(11sen(25)5)68,4m\angle A=\operatorname{sen}^{-1}\left(\dfrac{11\operatorname{sen}(25^\circ)}{5}\right)\approx 68{,}4^\circ
Lembre-se de que, se o ângulo desconhecido é obtuso, devemos pegar 180180^\circ e subtrair o que obtivemos na calculadora.
Problema 1.1
BC=BC=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Arredonde para a dezena mais próxima.

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

Conjunto de exercícios 2: resolução de triângulos usando a lei dos cossenos

Essa lei é mais útil para encontrar a medida de um ângulo quando dados todos os comprimentos dos lados. Ela também é útil para encontrar um lado desconhecido quando dadas as medidas dos outros lados e de um ângulo.

Exemplo 1: como encontrar um ângulo

Vamos encontrar mBm\angle B no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos cossenos:
(AC)2=(AB)2+(BC)22(AB)(BC)cos(B)(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2-2(AB)(BC)\cos(\angle B)
Agora, podemos inserir os valores e resolver:
(5)2=(10)2+(6)22(10)(6)cos(B)25=100+36120cos(B)120cos(B)=111cos(B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Ao calcularmos usando uma calculadora e arredondarmos:
mB=cos1(111120)22,33m\angle B=\cos^{-1}\left(\dfrac{111}{120}\right)\approx 22{,}33^\circ

Exemplo 2: como encontrar um lado desconhecido

Vamos encontrar ABAB no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos cossenos:
(AB)2=(AC)2+(BC)22(AC)(BC)cos(C)(AB)^2=(AC)^2+(BC)^2-2(AC)(BC)\cos(\angle C)
Agora, podemos inserir os valores e resolver:
(AB)2=(5)2+(16)22(5)(16)cos(61)(AB)2=25+256160cos(61)AB=281160cos(61)AB14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Problema 2.1
mA=m\angle A=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
\Large{^\circ}
Arredonde para o grau mais próximo.

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

Conjunto de exercícios 3: problemas gerais de triângulos

Problema 3.1
"Falta só um." Renato dá o sinal ao seu irmão do seu esconderijo.
Matias concorda com a cabeça, avistando o último robô inimigo.
"3434 graus." Matias sinaliza de volta, informando a Renato o ângulo que ele observou entre Renato e o robô.
Ryan registra esse valor no diagrama (mostrado abaixo) e faz um cálculo. Após calibrar seu canhão laser para a distância correta, ele se levanta, mira e atira.
Para que distância Renato calibrou seu canhão laser?
Não arredonde os valores para fazer os cálculos. Arredonde sua resposta final para o metro mais próximo.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
 m\text{ m}

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.
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