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Transcrição de vídeo

o que quero fazer neste vídeo a discutir uma classe especial de triângulos chamada triângulos 30 60 90 acho que sabe porque eles são chamados assim as medidas decisão golos são 30 graus 60 graus em 90 graus e o que vamos provar neste vídeo e isso tende a ter um resultado muito útil pelo menos pra muito do que vê numa sala de geometria e então depois numa aula de termometria é a razão entre os lados de um triângulo 30 60 90 que se vai poder usa tem comprimento x porque lembre se que a apple tem usa é o lado oposto aos 90 graus sem poder usar em comprimento x o que vamos provar é que o lado mais curto que o oposto ao ângulo de 30 graus em comprimento x sobre dois e que o lado oposto ao ângulo de 60 graus diria que será a raiz quadrada de três vezes o lado menor de modo que a raiz quadrada de três vezes sobre dois será seu cumprimento isso é o que vamos provar neste vídeo em outros vídeos vamos aplicar vamos mostrar que isso na verdade é um resultado útil vamos começar com um triângulo com o qual estamos familiarizados o chamado de um triângulo equilátero mas vamos desenhar e desenhar triângulos é sempre a parte difícil essa é a minha melhor tentativa de um triângulo equilátero e vamos chamar isso de a b c ou apenas assumir que construir um triângulo equilátero triângulo abc é equilátero esse é que lá terão isso significa que todos os seus lados são iguais e vamos dizer que é um ex lateral com lados de cumprimento x isso vai ser x vai ser x e isso vai ser x também sabemos baseado no que já vimos sobre o triângulo equilátero santis que a medida de todos esses ângulos internos vai ser de 60 graus então isso será a 60 graus e isso será a 60 graus e isso será a 60 graus agora o que vou fazer é desenhar uma altura desse ponto mais alto bem aqui vou desenhar uma altura baixando aqui e por definição quando estou construindo uma altura vai chegar a base aqui formando um ângulo então isso vai ser um ângulo reto e depois disso vai ser um ângulo reto é uma prova muito fácil de demonstrar que não é apenas uma altura que é a perpendicular à sua base mas é uma prova bem fácil de mostrar que seccional abas e você pode parar se quiser e provar você mesmo mas realmente vem do fato de que é fácil provar que esses dois triângulos são congruentes então deixou provar para você vamos chamar esse ponto de aqui os triângulos a bd e bdc podem claramente compartilhar esse lado esse lado é comum aos dois bem aqui e esse ângulo é congruente a esse ângulo aqui esse ângulo que é congruente a esse ângulo aqui se esses dois são congruentes entre si o terceiro ângulo tem que ser congruente com os outros então esse ângulo aqui precisa ser congruente aquele ângulo ben ali então esses dois são congruentes e você pode usar uma variedade dos nossos postulados de congruência poderíamos dizer congruentes por l a l lado angulado poderemos usar a ele a angulado o ângulo dá para usar qualquer um deles para mostrar que o triângulo a bd é congruente ao triângulo se a b c d e e o que isso faz pra nós a gente pode usar como disse ângulo lado ângulo ou lado ângulo lado o que gostamos de usar pra isso o que isso nos faz é que os lados correspondentes desses triângulo serão iguais em particular em particular o cumprimento a de vai ser igual a aceder a esses são lados correspondentes esses vão ser congruentes entre si e se a gente sabe que são congruentes entre si isso somado a isso resultará em x lembre se que isso era um triângulo equilátero de ldu x sabemos que esse lado bem aqui vai ser x sobre dois sabemos que vai ser x sobre dois não apenas sabemos isso mas também soubemos quando baixamos essa altura mostramos que esse ângulo tem que ser congruente aquele ângulo e suas medidas têm que somar um total de 60 então essas duas coisas são iguais elas somam 60 isso vai ser 30 graus e isso 30 graus já mostramos uma das partes interessantes dos triângulos 30 60 90 que a hipotenusa eu acho que não aponta isso desenhando essa altura essencialmente dividir esse triângulo equilátero em dois triângulos de 30 60 90 e já mostramos que seu lado oposto ao lado dos 90 graus x que o lado oposto ao ângulo de 30 graus vai ser x sobre dois esse é o que mostramos bem aqui agora só temos que conseguir com um terceiro lado o lado oposto ao lado dos 60 graus o lado oposto ao ângulo de 60 graus aqui vamos chamar isso de comprimento bom só vou usar as letras que já temos isto é de d podemos aplicar o teorema de pitágoras bd ao quadrado mas esse comprimento aqui ao quadrado mais x sobre dois ao quadrado será igual à hipotenusa ao quadrado temos b de b d ao quadrado mais x sobre dois ao quadrado isso é exatamente o teorema de pitágoras mais x sobre dois ao quadrado vai ser a hipótese usa ao quadrado vai ser igual à x ao quadrado e só pra ficar claro estou vendo esse triângulo bem aqui o triângulo se bd estou me preocupando com esse triângulo direito somente aplicando o teorema de pitágoras esse lado ao quadrado mas esse é o quadrado é igual a hipotenusa ao quadrado vamos resolver agora bd você tem bd ao quadrado mais x ao quadrado sobre 4x ao quadrado sobre quatro é igual à x ao quadrado é igual a 6 ao quadrado você vê isso como 4x ao quadrado sobre 4 que é o mesmo obviamente que x ao quadrado então se subtrairmos um se subtrai x ao quadrado sobre quatro dos dois lados têm bd ao quadrado igual a 4 x ao quadrado sobre quatro - x ao quadrado sobre 4 será igual a 3 x ao quadrado sobre quatro então vai ser 3 x ao quadrado sobre quatro tirando a raiz quadrada dos dois lados você tem b de igual a igual a raiz quadrada de três vezes x ao quadrado é igual a raiz quadrada de três vezes x sobre a raiz quadrada de 4 que é 2 e bd é o lado oposto ao ângulo de 60 graus então acabamos se essa hipótese usa x o lado oposto ao ângulo de 30 graus será x sobre dois do lado oposto ao longo de 60 graus ser a raiz quadrada de três vezes sobre dois dependendo de como você quer ver isso