Demonstração de triângulos retângulos especiais (parte 2)

RKA - No último vídeo, mostramos que a relação entre os lados do triângulo 30-60-90 é, se assumimos que o lado mais longo é "x", a hipotenusa é "x", o lado mais curto é x/2 e o lado entre eles, o lado que está oposto ao ângulo de 60°, é a √3 vezes x/2. Outra forma de pensar nisso é se o lado mais curto é 1, vou fazer o lado menor, depois o médio e depois o maior. Se o lado oposto ao ângulo de 30° é 1, então o lado oposto ao ângulo de 60° é √3 vezes isto. Então, vai ser √3 e, assim, a hipotenusa vai ser duas vezes isto. No último vídeo, começamos com "x" e dissemos que o lado oposto ao ângulo de 30° é x/2, mas se o lado oposto ao ângulo de 30° é 1, então, vai ser duas vezes isto, que vai ser 2. Isto aqui é o lado oposto ao ângulo de 30°, oposto ao lado de 60° e, ainda, a hipotenusa oposta ao lado de 90°. Em geral, se você vir qualquer triângulo que tem essa relação, diria: "esse é um triângulo 30-60-90!". Ou se visse um triângulo que sabe que é 30-60-90, poderia dizer: "eu sei como encontrar um dos lados baseado nessa relação bem aqui". É só como exemplo. Se vir um triângulo que se parece com isto, onde os lados são 2, 2√3 e 4, mais uma vez a relação de 2 para 2√3 é 1 para a √3, a relação de 2 para 4 é a mesma coisa que 1 para 2, isso aqui deve ser um triângulo 30-60-90. O que quero introduzir neste vídeo é outro tipo importante de triângulo, que aparece muito em geometria e trigonometria: este é um triângulo 45-45-90. Outra forma de pensar nisso é: se temos um triângulo retângulo, que também é isósceles, um triângulo retângulo que também é isósceles, obviamente, não pode ter um triângulo retângulo que é equilátero, porque um triângulo equilátero tem todos os seus ângulos congruentes, ou seja, todos os ângulos do triângulo equilátero tem que ser 60°. Mas pode ter um ângulo reto, pode ter um triângulo retângulo que é isósceles. Um isósceles, vou escrever isso, isso é um triângulo retângulo isósceles. E, se é isósceles, significa que dois lados são iguais. Estes são os dois lados iguais. Então, se os dois lados são iguais, provamos a nós mesmos que os ângulos da base são iguais. Se chamamos a medida destes ângulos de base "x", agora sabemos que "x" mais "x" mais 90° tem que ser igual a 180°. "x" mais "x" mais 90 precisa ser igual a 180. Ou, se subtrairmos 90 de cada lado, tem "x" mais "x" igual a 90, ou 2x igual a 90, ou se divide os dois lados por 2, tem "x" igual a 45º. Então, um triângulo retângulo isósceles também pode ser chamado, e esse é o nome mais comum para ele, também pode ser chamado de triângulo 45-45-90. Triângulo 45-45-90. Quero, com este vídeo, chegar à proporção para os lados do triângulo 45-45-90, assim como fizemos com o triângulo 30-60-90. Este aqui é, na verdade, mais simples porque em um triângulo 45-45-90, se a gente chamar um dos lados de "x", o outro lado também vai ser "x". Depois, podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa e este comprimento vamos chamar de "c". Temos x² mais x², que é a soma dos quadrados dos catetos. Quando somamos isso, vai ter que ser igual à hipotenusa c². Isso é o Teorema de Pitágoras. Então, temos 2x² é igual a c². Podemos pegar a raiz quadrada dos dois lados dele. Vou mudar para a cor amarela. OK, mudei. Para c², vamos pegar a raiz quadrada dos dois lados dele. Do lado esquerdo, você tem √2, que é √2. Depois, √x² __ao quadrado que vai ser "x". Então, você vai ter x√2 é igual a "c". Se tem um triângulo retângulo isósceles, quaisquer que sejam as medidas dos catetos, elas vão ter o mesmo comprimento, por isso é um isósceles. A hipotenusa vai ser √2 vezes esta medida: "c" é igual a x√2. Por exemplo, se tem um triângulo que se pareça com isto, vou desenhar de uma forma diferente, é bom ter que se orientar de formas diferentes a cada tentativa. Então, se a gente tem um triângulo de 90°, 45º e 45º como este, você realmente só tem que conhecer estes dois ângulos para saber qual será o outro. Se te dissesse que este lado aqui é 3, na realidade, nem tenho que dizer que este outro lado vai ser 3, este é um triângulo isósceles, então, estes dois lados serão iguais. Você não vai ter que aplicar o Teorema de Pitágoras se souber disso, e isso é bom para saber, que a hipotenusa aqui, o lado oposto ao de 90°, só vai ser √2 vezes o comprimento de qualquer um dos lados, vai ser 3√2. Então, a relação entre os lados e a hipotenusa em um triângulo 45-45-90, ou um triângulo isósceles, a relação entre os lados é um dos catetos pode ser 1, o outro cateto vai ter a mesma medida, o mesmo comprimento e a hipotenusa vai ser √2 vezes cada um deles. 1 para 1 para √2, então, este é 45-45-90. 45-45-90. Estas são as proporções. Só como revisão, se você tem um 30-60-90, a relação estava em 1 para √3 para 2, e agora vamos aplicar isso em vários problemas.