Introdução a seções cônicas

RKA - Vamos aprender algumas coisas sobre seções cônicas. Em primeiro lugar, o que são e por que se chamam seções cônicas. Inclusive, você já deve conhecer algumas: a circunferência, a elipse, a parábola, e a hipérbole (que já deve conhecer, não é?). Quando aprendi sobre seções cônicas, eu falei: sei o que é uma circunferência, sei o que é uma parábola, e até sei um pouco sobre elipses e hipérboles. Por que esse nome "seções cônicas"? Porque elas são a intersecção entre um plano e um cone. Já vou desenhar para visualizar bem, mas é melhor desenhar separadamente e eu vou trocar de cor. Todo mundo sabe como é a circunferência. Melhor um traçado mais grosso para circunferências, né? A circunferência tem esta aparência. Todos os seus pontos são equidistantes de um centro e a distância se chama raio. Isso é "r" e esse é o centro e a circunferência é formada por todos os pontos que ficam a "r" de distância do centro. A gente aprendeu bem cedo o que é circunferência. Uma elipse é uma espécie de circunferência achatada. Mais ou menos assim. Eu vou fazer a elipse de outra cor. Uma elipse pode ser assim ou assim. E é difícil variar com a ferramenta que eu estou usando, mas ela pode ser inclinada ou girada. E a circunferência é um caso especial de elipse. É uma elipse que não é mais esticada em uma dimensão do que em outra; ela é perfeitamente simétrica. Parábola. Já deve ter aprendido em álgebra, mas a parábola... deixa eu separar as coisas... uma parábola é mais ou menos assim, tem esse formato de "U". Eu não vou falar das equações agora. Aliás, eu vou, sim, porque já deve conhecer: "y = x²", e é possível girar. Uma parábola pode ser assim. Seria "x = y²"; dá para girar. Mas você conhece a aparência de uma parábola. Eu vou falar mais sobre como representar ou como saber quais são seus pontos interessantes. E a última coisa que já deve ter visto também é a hipérbole. Parece a união de duas parábolas, mas não é porque as curvas não se parecem tanto com o "U" e são mais abertas. Vou explicar: uma hipérbole é mais ou menos assim. Se estes são os eixos... estes são os eixos e eu vou desenhar umas assíntotas. Eu quero que elas passem pelo... aha, ficou bom! Estas são as assíntotas. Não é a hipérbole. Uma hipérbole seria mais ou menos assim, e poderia começar aqui e passar muito perto da assíntota. Ela passa cada vez mais perto das retas azuis, assim; desse lado também. A figura aparece aqui, e, depois, do outro lado. Essa figura roxa seria uma hipérbole, mas o meu desenho não ficou muito bom. Tem outra hipérbole que podemos chamar de hipérbole vertical. Essa não é a palavra exata, mas seria abaixo desta assíntota e acima daquela assíntota. A azul seria uma hipérbole, e a roxa seria outra. Estas são as representações. Você deve estar se perguntando por que se chamam seções cônicas. Qual é a relação? Está claro que circunferências e elipses têm uma relação. Uma elipse é uma circunferência achatada. E pode parecer que parábolas e hipérboles também têm uma relação. As duas lembram um "U" mais aberto. A hipérbole tem dois abrindo em direções diferentes, mas eles se relacionam. Mas qual é a ligação entre todos eles? Ela está na palavra CÔNICA. Eu vou tentar desenhar um cone tridimensional. Isto é um cone. Este é o topo. Podia ter usado uma elipse no topo. Na verdade, ele não tem topo e continuaria para sempre nessa direção. Eu só fiz um corte para você ver que é um cone. Esta pode ser a parte de baixo. Vamos pegar intersecções diferentes de um plano com este cone e ver se conseguimos pelo menos gerar os formatos diferentes dos quais falamos. Se tem um plano que vai diretamente... vamos chamar de eixo do cone tridimensional. Este é o eixo. Se tem um plano exatamente perpendicular a este eixo... (vou tentar desenhar em 3D)... o plano seria assim, teria uma reta. Esta é a linha da frente, que estaria mais perto de você, e teria outra linha aqui atrás. É, não ficou ruim. São planos infinitos, se estendem nas duas direções. Se este plano é diretamente... aqui, onde o plano passa por trás... a intersecção entre este plano e o cone vai ter esta aparência. Estamos olhando de um ângulo, mas, se olhássemos daqui de cima para este plano, se eu girasse o desenho para que olhasse através do cone, a intersecção seria uma circunferência. Agora, se pegar o plano e inclinar um pouco, de forma que, em vez disso, tivéssemos algo assim. Eu vou tentar caprichar. Se tivesse algo... ops! É, vou refazer... algo assim e o outro lado assim... e, aí, eu ligo... este é o plano. Agora, a intersecção do plano, que não é ortogonal ou perpendicular ao eixo desse cone tridimensional... se pegar a intersecção deste plano e deste cone (em vídeos futuros estudaremos a intersecção tridimensional e provaremos que este é o caso, eu vou mostrar as equações num futuro próximo), a intersecção ficaria assim; eu acho que dá para visualizar. Ela ficaria assim. Se olhasse de cima para baixo para o plano, esta figura que eu desenhei de roxo ficaria assim. Eu não desenhei muito bem. Seria uma elipse. Você conhece a elipse. E, se eu a inclinasse para o outro lado, a elipse seria espremida para o outro lado, mas explica por que as duas são sessões cônicas. Agora, algo interessante: se continuar inclinando este plano para que... digamos que estamos girando em torno desse ponto.... agora, o meu plano... vou tentar desenhar.... é um bom exercício de desenho tridimensional... digamos que ele fique assim. Eu quero passar por aquele ponto, e este é o meu plano tridimensional. Eu desenhei de um jeito que ele só cruza com o cone de baixo e a superfície do plano é paralela ao lado do cone de cima. Nesse caso, a intersecção entre o plano e o cone vai ser bem nesse ponto. Quase dá para ver que eu estou girando ao redor desse ponto na intersecção entre o plano e o cone. A intersecção seria mais ou menos assim, e continuaria para baixo. Sua aparência seria assim se olhasse o plano de cima para baixo. E esta é a parábola. É interessante! Se começa com uma circunferência e gira um pouco, fica com uma elipse... outra elipse cada vez mais distorcida... a elipse vai ficando cada vez mais achatada até que ela se separa quando o plano fica exatamente paralelo ao lado do cone superior. E está tudo muito inexato, mas eu quero te dar essa noção. Ela se separa e vira uma parábola; então, existe essa relação. A parábola é o que acontece quando um lado de uma elipse se separa. E, se continuar inclinando este plano... deixa eu mudar de cor... até ele cruzar com os dois lados do cone... vou tentar desenhar... se este é meu novo plano... ops... ah, dá para o gasto... se o meu novo plano é assim... eu sei que está difícil de ver... e eu quero saber a intersecção entre este plano verde e o cone. Eu devia redesenhar tudo, mas eu espero que não esteja tão confuso. A intersecção ficaria assim e ela cruzaria com o cone de baixo e com o cone de cima aqui. Daí, a gente teria alguma coisa assim. Esta seria a intersecção do plano com o cone de baixo e seria a intersecção do plano com o cone de cima. Esse plano continua em todas as direções infinitamente. Isso foi uma introdução às seções cônicas e o porquê de elas serem chamadas de seções cônicas, e me avise se ficar muito confuso. Talvez eu faça outro vídeo mais claro; posso procurar um aplicativo de 3D que desenhe melhor do que eu. E elas se chamam sessões cônicas porque são relacionadas entre si. Vamos aprofundar isso em outros vídeos, mas, no próximo vídeo, agora que já sabem o que é e por que tem esse nome, eu vou falar das fórmulas e como reconhecê-las, e, dado uma fórmula, como marcar os pontos dessas seções cônicas. Enfim, até o próximo vídeo. Fui!