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Características de uma circunferência a partir de sua equação geral

Neste vídeo, encontramos o centro e o raio de uma circunferência cuja equação é x^2+y^2+4x-4y-17=0, e, em seguida, representamos a circunferência graficamente. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Construa o círculo no gráfico; aqui nos dão uma equação meio maluca. A gente deve construir bem aqui. E, para construir um círculo, tem que achar seu centro e seu raio. Isto muda de tamanho. Precisamos saber seu raio; então, tem que pôr isso em alguma forma na qual dê para identificar seu centro e seu raio. Vou puxar minha lousa para fazer. Essa é a mesma equação. O que eu vou fazer é completar o quadrado em função de "x" e em função de "y", para colocar numa forma que reconhecemos. Primeiro, vamos ver todos os termos "x". Tem "x²", é 4x do lado esquerdo, posso reescrever como "(x² + 4x)" e vou incluir parênteses porque vou completar o quadrado. E tem os termos "y"... (vou circular em vermelho... vai ficar muito parecido... vou circular em azul)... "y²" e "-4y"; tem mais "(y² - 4y)". Depois tem -17 (vou usar uma cor neutra). Essa equação é igual a zero. Quero transformar cada uma dessas expressões em quadrados perfeitos. Como posso fazer isso? Isso seria um quadrado perfeito se eu pegasse metade do 4 e o elevasse ao quadrado. Se aqui fosse +4, essa expressão inteira seria "(x + 2)²". E você pode confirmar isso, se quiser. Se precisa revisar como completar quadrados, temos muitos vídeos sobre isso. O que fizemos foi pegar metade desse coeficiente e elevá-lo ao quadrado para dar 4. Metade de 4 é 2², que dá 4. E isso vem da ideia de que, se você pega "(x + 2)" e eleva ao quadrado, ficará com "x² + 2‧(2x) + 2²". Não dá para simplesmente adicionar um 4; tínhamos uma igualdade. Se adicionamos um 4, deixa de ser igual. Para manter a igualdade, temos que adicionar 4 do lado direito também. Agora, vamos fazer o mesmo com os "y". Metade deste coeficiente é -2. "(-2²)" dá 4. Tem que fazer do lado direito também. O que tem em azul vira "(y - 2)²". E ainda tem -17. Mas por que não somamos 17 aos dois lados também para nos livrarmos disso aqui? Vamos somar 17 à esquerda, e à direita também. Do lado esquerdo, ficamos com essas duas expressões. Do lado direito tem "4 + 4 + 17", isso dá "8 + 17", que é igual a 25. Essa é uma forma que dá para reconhecer: a forma "(x - a)² + (y - b)² = r²". Sabemos que o centro está no ponto (a, b), que é o ponto que faz esses dois serem iguais a zero. E o raio vai ser "r". Olhando aqui, qual é o nosso "a"? É preciso ter cuidado! Não é 2; é -2. "x - (-2)" é igual a 2. A coordenada "x" do centro vai ser -2; e a coordenada "y" do centro vai ser 2. A gente quer o valor "x" que faz esse zero, e o valor "y" que faz esse zero. O centro é (-2, 2), e isso é o raio ao quadrado. Então, o raio é igual a 5. Vamos voltar ao exercício e marcar. É (-2, 2). Nosso centro é (-2, 2). É aqui! "x" é -2, "y" é 2. E o raio é 5. Vamos contar: um, dois, três, quatro, cinco. Tem que abrir mais um pouquinho... travou. Pronto! Um, dois, três, quatro, cinco. Vamos verificar a resposta. Acertamos!