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Como fazer o gráfico de uma circunferência a partir de sua equação reduzida

Transcrição de vídeo

RKA - Faça o gráfico da função (x + 5)² + (y - 5)² = 4. Arraste o ponto central e o perímetro da circunferência para fazer o gráfico da equação. Então, temos o simulador... Vamos localizar o ponto central da circunferência. A equação da circunferência é dada por x - x0, onde x0 é o x do ponto central da circunferência. Portanto, como temos x + 5, significa que o ponto central da circunferência é -5. Então, vamos arrastar para -5 o x. O y já está como y - 5, portanto o y inicial vai ser 5. Então, centralizamos. Como o raio já está igual a 2, a nossa equação está feita. Então, vamos ver se essa equação condiz com alguns dados. Nós temos, em um ponto inicial, um raio 2, que é constante. Temos x = -3 nesse ponto, e o y = 5. Vamos jogar na equação: x = -3. (-3 + 5)² mais... y é 5: ...(5 - 5)² = 4. -3 + 5 = 2, 2² = 4. 5 - 5 = 0 Portanto, isso desaparece. 4 = 4. Ok, satisfez. Vamos colocar um pouquinho mais para frente, vamos ver o que acontece em outro ponto importante. Esse ponto aqui, que acabou de passar, que é quando y = 7 e x = -5. Então, vamos substituir na equação da circunferência e verificar se funciona. x = -5, portanto fica: (-5 + 5)² mais... y = 7: ...(7 - 5)² = 4. -5 + 5 = 0. 7 - 5 = 2. 2² = 4. Ok, essa equação está satisfazendo. Vamos pegar agora um valor qualquer, aleatoriamente. Estamos com uma casa decimal, vamos ver se a gente consegue aumentar o número de casas decimais. Vamos pegar e colocar pelo menos duas casas decimais para ficar mais preciso. Então, com duas casas decimais, pronto. x = -3,95, (-3,95 + 5)² + (6,7 - 5)² = 4. 4 é o nosso raio ao quadrado. Então, vamos calcular aqui na calculadora. Temos (5 - 3,85)². Vamos ficar com 1,32 mais... 6,7 - 5 = 1,7 1,7² = 2,89. 2,89 + 1,33 mais... Dá aproximadamente 4. Obviamente a gente está arredondando nas casas decimais, mas já vimos que funciona. Agora, queremos que funcione não apenas para essa equação, queremos que funcione para qualquer equação. Ou seja, nessa questão foi dada a equação da circunferência, e foi solicitado que achássemos o ponto central. Que, no caso, foi x = -5 e y = 5. Ok, colocamos. E o raio é 2. Uma vez que a equação toda é igual a r², então temos que... r² = 4, significa que o raio vale 2. Agora, vamos fazer no sentido inverso, ou seja, ele nos dá o raio, nos dá o ponto central da circunferência e quer a equação da circunferência. Então, a questão agora se inverteu. Ele já deu o ponto onde se localiza o centro da circunferência, no caso -5 e 5. Nos deu o raio, e precisa achar a equação da circunferência. Como vamos fazer isso? Vamos pegar um ponto qualquer. Podemos aplicar Pitágoras aqui simplesmente, ou seja, não sabemos quem é o x, nem sabemos quanto vale o y. Por isso que nós vamos montar uma equação generalizada. Mas sabemos que o ponto central fica no x = -5 e no y = 5. Para escrever nossa equação da circunferência, fazemos x - x0, onde x0 é o x correspondente ao centro da circunferência... (x - x0)² + (y - y0)², onde y0 é o y, nesse caso 5, referente ao ponto central da circunferência. E r². O raio foi dado. ...igual ao raio quadrado. x0, nós sabemos, é -5. y0, nós sabemos, também é o próprio 5. E o raio foi dado, ou seja, 2² = 4. Então, nossa expressão fica: x... Menos com menos dá mais. ...(x + 5)² + (y - 5)² = 4. Portanto, essa é a equação da nossa circunferência. E essa é a representação gráfica que nos foi pedida.