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Características de uma circunferência a partir de sua equação reduzida

Transcrição de vídeo

RKA - A equação de uma circunferência "C " é (x + 3)² + (y - 4)² = 49. Quais são seu centro (h, k) e seu raio "r"? Primeiramente, vamos lembrar o que uma circunferência é. Digamos que isso aqui é o centro da circunferência no ponto (h, k). A circunferência vai ser um conjunto de pontos que estão equidistantes desse centro. Vamos determinar aqui então o conjunto dos pontos que estão numa distância "r" nesse ponto (h, k). Portanto, vamos dizer que essa distância equivale "r" e o que eu quero aqui é o conjunto de todos os pontos (x, y) que estão exatamente "r" de distância do ponto (h, k) que é o centro. E agora, como você pode imaginar, se eu mover esse ponto aqui ao redor do centro dessa maneira, eu vou ter uma circunferência. Eu vou tentar fazer o meu melhor aqui para que fique uma circunferência legal. É difícil fazer mas... mais ou menos, tá bom aí. Portanto se eu tiver desenhado isso daqui corretamente todos os pontos que estão sobre essa linha aqui estão exatamente a uma distância "r", no caso, desse ponto central aqui, certo? Então, como é que eu monto uma equação em termos de "r", "x", "y", "h" e "k" que vai descrever todos esses pontos aqui? Nós já sabemos como determinar a distância de dois pontos no plano cartesiano, ela vem do teorema de Pitágoras. Se eu desenhar aqui uma linha vertical que na verdade é a variação no "y" entre esses dois pontos, aqui em cima nós teremos o "y" e aqui embaixo nós teremos o "k". Então essa distância aqui vai ser e "y - k". E podemos fazer a mesma coisa aqui no eixo horizontal. Essa coordenada no "x" é o próprio "x" e essa coordenada aqui no "x" é o "h". Portanto, essa distância aqui em verde é "x - h". Por definição, isso daqui vai ser um triângulo retângulo porque nós pegamos uma linha vertical, perfeitamente, e uma linha perfeitamente horizontal, logo elas fazem um ângulo de 90 graus. E, então, do teorema de Pitágoras, nós sabemos que isso aqui ao quadrado, mais isso aqui ao quadrado, vai ser igual a isso aqui ao quadrado, sim ou não? Portanto, (x - h)² mais (y - k)², isso tem que ser igual ao raio ao quadrado. E qualquer ponto que satisfaça essa equação aqui que determinamos vai estar sobre essa circunferência. E agora nós podemos responder: a equação dessa circunferência é isso aqui. E isso se parece muito com o que nós acabamos de fazer, é ou não é? Nós só não podemos dar mole aqui com os sinais, com o sinal de negativo aqui da fórmula. Em vez de escrever (x + 3)², eu vou escrever (x - (-3))². Esse mais aqui vai se repetir, e nós vamos ter aqui no outro membro (y - 4), já tinha o menos ali, ao quadrado. Isso vai ser igual a 49, mas em vez de botar 49 vou colocar sete elevado ao quadrado. E agora está bem claro que o nosso "h" é -3, é ou não é? O nosso "k" vai ser o 4 positivo, e o "r" que é o raio é 7. Então podemos dizer que (h, k) vai ser igual a -3 que é o valor do "h" e 4 que é o valor do "k". E aqui você pode me perguntar: "mas aqui não é "-k"? Olha só para cá. Aqui é -4 então o "k" vai ser igual a 4 positivo. A mesma coisa acontece aqui, você pode me dizer: "Ora, o "h" não seria positivo aqui?" Não, porque aqui a gente está subtraindo o "h". Então, eu estou subtraindo o -3, porque aí esse menos com esse menos aqui dá mais +3 ali, certo? Para finalizar, de maneira similar, o raio vai ser igual a 7. Até o próximo vídeo.