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Como escrever a equação reduzida de uma circunferência

Transcrição de vídeo

RKA2MB - Neste vídeo, vamos achar a equação da circunferência qualquer. A primeira coisa que devemos fazer é determinar o raio. Para isso, vamos localizar um ponto da circunferência exato onde nós possamos calcular o raio. Nós queremos calcular a equação para toda a circunferência, e não apenas para esse ponto em si. Esse ponto vai nos valer apenas para calcular o raio, a distância entre o centro e um ponto qualquer da circunferência (esse vai ser nosso raio). Nosso centro está localizado no ponto: "x = -1" e "y = 1". Portanto, nosso raio tem as coordenadas (-1, 1). E isso não vai mudar durante toda a circunferência. O ponto, sim: todos os pontos da circunferência formam o total de pontos que distam a mesma quantidade (que é o raio) do ponto central. Vamos tomar esse ponto para sabermos o valor do raio, que é necessário para a nossa equação. Para isso, vamos fazer Pitágoras. Vamos pegar essa distância no eixo x, vamos chamar de Δx (delta "x"); e vamos pegar a distância no eixo y ([vou] colocar aqui em roxo a distância do eixo y). E é interessante colocar que essa distância é a mesma se você tomar ela paralelamente aqui. Ou seja, você pegando por Pitágoras, temos que: o raio ao quadrado é igual a Δx ao quadrado mais Δy ao quadrado. Vamos determinar quanto vale o nosso Δx. Nosso Δx vale a posição final menos a posição inicial. A posição final é 6, e a posição inicial é -1. Então, "6 - (-1)", que dá igual a 7. Quem vai ser nosso Δy? Nosso Δy vai ser a posição final, -4, menos a posição inicial, que é 1. Então, "-4 - 1 = 5". O valor sendo negativo não tem importância, nós queremos saber qual é o módulo do raio. Como estamos elevando ao quadrado tanto o Δy quanto o Δx, esse sinal negativo vai desaparecer. Portanto, quanto é que vale o nosso raio ao quadrado? Nosso raio ao quadrado vale "(Δx)²", que é 7², mais "(Δy)²", que é (-5)². Então, temos que o raio é igual a 7² (=49) mais (-5)² (que é a mesma coisa que 5², o sinal de menos vai desaparecer), vai ser 25. "49 + 25", nós vamos ter um raio de 74. Vamos guardar o raio ao quadrado, não precisamos tirar a raiz quadrada. O raio seria a raiz quadrada de 74, mas na nossa equação vamos utilizar o raio ao quadrado. Nossa equação não se restringe a um ponto da circunferência, mas a qualquer ponto da circunferência. Portanto, todos os pontos que a circunferência pode assumir têm um raio sempre igual ao que calculamos, que foi igual a 74. "x" e "y" estão mudando, mas você pode parar em qualquer ponto e achar que a equação geral da circunferência vai ser um "x" qualquer menos o ponto central da circunferência em "x", e um "y" qualquer menos o ponto central da circunferência em "y". O ponto qualquer da circunferência que pegamos e paramos no gráfico deve nos dar a equação geral da circunferência. Portanto, o nosso "x" não vai ser um "x" específico. Vai ser um "x" daquele local. Ou seja, nós vamos ter novamente Δx ao quadrado mais Δy ao quadrado igual ao raio ao quadrado, mas, no Δx, vamos ter a variação de um "x" qualquer menos a posição central do nosso raio, que é -1. Ou seja, você vai ter "x - (-1)" (é o nosso Δx)... mais... o nosso Δy vai ser "y" menos a posição inicial, que é a do nosso raio, ou seja, a posição do nosso raio "y" qualquer da circunferência vai ficar "(y - 1)²"... e isso é igual a "r²", ou seja, "r²" é 74. Portanto, nossa equação fica "x + 1" ("menos" com "menos" aqui dá "mais")... "(x + 1)² + (y - 1)² = 74", e isso para qualquer ponto da circunferência em questão.