Definir rotações com precisão

O diálogo abaixo é de um professor com seu aluno. O objetivo deles é descrever rotações em geral usando a linguagem precisa da matemática. Como pode ver, o aluno deve revisar a definição várias vezes para torná-la cada vez mais precisa. Divirta-se!

Hoje tentaremos descrever o que rotações fazem de uma maneira geral.

Suponha que tenhamos uma rotação de $\theta$theta graus sobre o ponto $P$P. Como você descreveria o efeito desta rotação em outro ponto $A$A?

O que você quer dizer? Como posso saber o que a rotação faz com $A$A, se não sei nada sobre ela?

É verdade que você não sabe nada sobre esta rotação específica, mas todas as rotações se comportam da mesma maneira. Você consegue pensar em um modo de descrever o que a rotação faz com $A$A?

Hmmmm... Deixe-me ver... Bem, acho que $A$A é movido para uma posição diferente em relação a $P$P. Por exemplo, se $A$A estivesse à direita de $P$P, agora ele poderia estar acima de $P$P, ou algo assim. Isso depende do tamanho de $\theta$theta.

Perfeito. Podemos descrever o que você acabou de dizer assim:

Sim, eu concordo com esta definição.

Lembre, no entanto, que, na matemática, devemos ser muito precisos. Há apenas uma maneira de criar um ângulo $\angle P$angle, P igual a $\theta\,$theta?

Deixe-me ver... Não, há duas maneiras de criar esse ângulo: no sentido horário e no sentido anti-horário.

Certo! Rotações são realizadas no sentido anti-horário, e nossa definição deve reconhecer que:

Claro, se $\theta$theta é dado como uma medida negativa, a rotação está no sentido oposto, que é o sentido horário.

Legal. Acabou?

Você quem sabe. A definição deve deixar totalmente claro o local onde $A$A é traçado. Em outras palavras, deve haver apenas um ponto correspondente à descrição de $B$B.

Há somente um ponto que gera um ângulo no sentido anti-horário igual a $\theta\,$theta?

Acho que sim... Espere! Não! Há muitos pontos que geram este ângulo! Qualquer ponto no raio que vem de $P$P em direção a $B$B tem um ângulo $\theta$theta com $A$A.

Boa observação! Então, você consegue pensar em uma maneira de melhorar nossa definição?

Sim, além do ângulo ser igual a $\theta$theta, a distância de $P$P deve continuar a mesma. Acho que você pode definir isso matematicamente como $PA=PB$P, A, equals, P, B.

Muito bem! Podemos resumir todo o nosso trabalho na seguinte definição:

Uau, isso é muito preciso!

Realmente! Como bônus, vou mostrar outra maneira de definir rotações:

Sim, isso também dá certo porque todos os pontos de um círculo têm a mesma distância a partir do centro.

Exatamente! A principal diferença entre as duas definições é que a primeira usa segmentos de reta, e a segunda usa um círculo.

Legal. É só isso?

Sim. Acho que definimos rotações da forma mais precisa possível.