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Definir rotações com precisão

Leia um diálogo em que um aluno e um professor se esforçam para definir rotações da maneira mais precisa possível.
O diálogo abaixo é de um professor com seu aluno. O objetivo deles é descrever rotações em geral usando a linguagem precisa da matemática. Como pode ver, o aluno deve revisar a definição várias vezes para torná-la cada vez mais precisa. Divirta-se!
Professor:
Hoje tentaremos descrever o que rotações fazem de uma maneira geral.
Suponha que tenhamos uma rotação de theta graus sobre o ponto P. Como você descreveria o efeito desta rotação em outro ponto A?
Aluno:
O que você quer dizer? Como posso saber o que a rotação faz com A, se não sei nada sobre ela?
Professor:
É verdade que você não sabe nada sobre esta rotação específica, mas todas as rotações se comportam da mesma maneira. Você consegue pensar em um modo de descrever o que a rotação faz com A?
Aluno:
Hmmmm... Deixe-me ver... Bem, acho que A é movido para uma posição diferente em relação a P. Por exemplo, se A estivesse à direita de P, agora ele poderia estar acima de P, ou algo assim. Isso depende do tamanho de theta.
Professor:
Perfeito. Podemos descrever o que você acabou de dizer assim:
Suponha que a rotação trace A no ponto B, então o ângulo entre os segmentos de reta start overline, P, A, end overline e start overline, P, B, end overline será theta.
Aluno:
Sim, eu concordo com esta definição.
Professor:
Lembre, no entanto, que, na matemática, devemos ser muito precisos. Há apenas uma maneira de criar um ângulo angle, P igual a theta?
Aluno:
Deixe-me ver... Não, há duas maneiras de criar esse ângulo: no sentido horário e no sentido anti-horário.
Professor:
Certo! Rotações são realizadas no sentido anti-horário, e nossa definição deve reconhecer que:
Uma rotação de theta graus sobre o ponto P move qualquer ponto A no sentido anti-horário até um ponto B no qual m, angle, A, P, B, equals, theta.
Claro, se theta é dado como uma medida negativa, a rotação está no sentido oposto, que é o sentido horário.
Aluno:
Legal. Acabou?
Professor:
Você quem sabe. A definição deve deixar totalmente claro o local onde A é traçado. Em outras palavras, deve haver apenas um ponto correspondente à descrição de B.
Há somente um ponto que gera um ângulo no sentido anti-horário igual a theta?
Aluno:
Acho que sim... Espere! Não! Há muitos pontos que geram este ângulo! Qualquer ponto no raio que vem de P em direção a B tem um ângulo theta com A.
Professor:
Boa observação! Então, você consegue pensar em uma maneira de melhorar nossa definição?
Aluno:
Sim, além do ângulo ser igual a theta, a distância de P deve continuar a mesma. Acho que você pode definir isso matematicamente como P, A, equals, P, B.
Professor:
Muito bem! Podemos resumir todo o nosso trabalho na seguinte definição:
Uma rotação de theta graus sobre o ponto P move qualquer ponto A no sentido anti-horário até um ponto B no qual P, A, equals, P, B e m, angle, A, P, B, equals, theta.
Aluno:
Uau, isso é muito preciso!
Professor:
Realmente! Como bônus, vou mostrar outra maneira de definir rotações:
Uma rotação de theta graus sobre o ponto P move qualquer ponto A no sentido anti-horário até um ponto B, de modo que tanto A quanto B estejam no mesmo círculo centralizado em P, e m, angle, A, P, B, equals, theta.
Aluno:
Sim, isso também dá certo porque todos os pontos de um círculo têm a mesma distância a partir do centro.
Professor:
Exatamente! A principal diferença entre as duas definições é que a primeira usa segmentos de reta, e a segunda usa um círculo.
Aluno:
Legal. É só isso?
Professor:
Sim. Acho que definimos rotações da forma mais precisa possível.