Exemplo resolvido: comprimento do arco de curvas polares

RKA3JV - Neste vídeo, queremos encontrar o comprimento do arco de uma pétala, creio que podemos chamar assim, do gráfico de r = 4sen 2θ. Queremos encontrar o comprimento desta parte da curva, que está em vermelho, bem aqui. Faremos isto em duas etapas. Primeiro, montamos a integral definida para o cálculo do comprimento do arco. Então, efetuamos o cálculo. Eu vou usar a calculadora para simplificar o processo, pelo menos, na parte da integral. Então mãos à obra! Agora, eu convido você a pausar o vídeo. Conhecendo a fórmula do comprimento do arco, quando a forma polar é dada, tente aplicá-la para descobrir o comprimento deste arco. Bom, eu estou assumindo que você tentou. Então, vamos lá! Lembremos que o comprimento do arco vai ser igual à integral do nosso ângulo inicial ao nosso ângulo final. Digamos que é alfa e beta da raiz quadrada da derivada da nossa função que é uma função de θ² mais a nossa função ao quadrado, dθ. Vejamos o que o nosso r'(θ) e o que o r(θ) são. Eu vou definir um código de cores aqui. Então, r'(θ) sabemos o que é r(θ). Então, eu vou escrever aqui. Então, sabemos que r(θ) = 4 sen 2θ. Então, r'(θ) será a derivada de 2θ em relação a θ, que é 2 vezes 4 que é 8. A derivada de seno é cosseno. Então, cosseno de 2θ. Se quisermos escrever a integral definida para o comprimento do arco, este será igual à integral definida, qual é o nosso limite inicial? Para a pétala que nos interessa, começamos no ângulo zero radiano. E no ângulo zero radiano r = 0, é este ponto aqui. Nós começaremos, então, em zero radiano e iremos até π/2. O seno de 2 vezes π/2 é o mesmo que sen π, que é zero. Então, nós voltaremos a este ponto aqui. Assim, iremos de zero a π/2 radianos. Isto será a raiz quadrada de, vamos lá, eu preciso de um pouco mais de espaço. O quadrado de r'(θ), que será isto ao quadrado. Será 60, deixe-me usar o mesmo azul. Será 64 cos² 2θ mais isso ao quadrado, que será 16 sen² 2θ. E é claro o nosso dθ. Então, dθ. Você pode tentar resolver isso de forma analítica. Porém, eu já aviso que não é trivial. Por isso, eu vou usar a calculadora. Assim, conhecemos ferramentas disponíveis que nos ajudam com este tipo de problema. Faremos a integral definida. Eu vou para o segundo cálculo na minha t85. E seleciono a opção para integral definida. Vamos expressar do que estamos calculando a integral definida. É √64. √64 vezes o cos² 2θ. Eu vou usar "x" no lugar de θ, já que é uma variável mais fácil de usar nesta calculadora aqui. Então, cos 2, deixe-me certificar que os parênteses estão corretos. Cosseno de 2x, ok. Agora, eu quero elevar isso ao quadrado, então elevado ao quadrado. Bom, eu terminei a primeira parte. Mais, 16 vezes sen 2x. Fecha isto e fecha isto. Isto ao quadrado. Eu não estou certo de que a calculadora interpretará isto como multiplicação. Então, vamos inserir "vezes" aqui. 104 vezes cos 2x, tudo isto ao quadrado. Mais, 16 sen 2x, tudo isto ao quadrado. Agora, vamos ao final. Deixe-me fechar o radical. Então, isso fecha aquilo ali, isto delimita que eu estou tirando a raiz variável em relação a qual estou integrando, que neste caso é "x". Onde é θ aqui, estou substituindo por "x" ali. E eu quero calcular isso no lugar de θ é igual a zero a π/2. Diremos de x = 0 a π/2. Eu espero não ter cometido erros. E o resultado é, está demorando um pouco, mas vai sair! Finalmente! Se quiséssemos arredondar na terceira casa seria 9,688. Então, aproximadamente 9,688. Vejamos, esta resposta faz sentido? Ele se afasta cerca de 4 unidades. Se você se afastasse 4 unidades e voltasse, isso seria aproximadamente 8. Claro, nós afastamos algumas unidades. Então, intuitivamente, faz sentido que o comprimento do arco seja 9,688. Eu espero que você tenha gostado.